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第2章一维势场中的粒子:习题解答讲述
第2章 一维势场中的粒子
习题2.1 在三维情况下证明定理1-2。
证明:实际上,只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量即可。
习题2.2 方程 的一般解亦可写为如下形式:
或
试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。
解:方法1:令势阱内一般解为 ,代入边界条件有
,
解得: ,有
所以:
归一化可求得:
且有:
方法2:令势阱内一般解为,代入边界条件有
解得
所以:
归一化可求得:
且有:
习题2.3 设质量为μ的粒子在势场 中运动,求定态Schr?dinger方程的解。
解:方法1:
本问题与一维中心不对称无限深势阱
的差别仅在于坐标原点的选择,将教材中式(2.6)
,n=1,2,3 ……
由定理2可知,本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下:
当n=2k为偶数时,为关于x的奇函数,此时波函数为奇宇称;
当n=2k+1为奇数时,为关于x的偶函数,此时波函数为偶宇称;
方法2:本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下:
1.写出分区的定态Schr?dinger方程
由前面提到的,当V0→∞时,ψ=0
故阱外波函数为零,即
ψ(x)=0, |x|≥a/2
2、引入参数简化方程,得到含待定系数的解,令
则阱内定态Schr?dinger方程为:ψ″(x)+k2ψ=0
由此得阱内的通解为:
式中A、B为待定常数。
3、由波函数标准条件确定参数k,并代入ψ(x)。
既然阱外的波函数ψ(x)=0,由波函数的连续性条件可得ψ(-a/2)= ψ(a/2)=0
即
可解得, n=1,2,3,……
∴
归一化,可得到
方法3:本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下:
1.写出分区的定态Schr?dinger方程
由前面提到的,当V0→∞时,ψ=0
故阱外波函数为零,即
ψ(x)=0, |x|≥a/2
2、引入参数简化方程,得到含待定系数的解,令
则阱内定态Schr?dinger方程为:ψ″(x)+k2ψ=0
由此得阱内的通解为:ψ(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|a/2
式中A、B为待定常数。
3、由波函数标准条件确定参数k,并代入ψ(x)。
既然阱外的波函数ψ(x)=0,由波函数的连续性条件可得ψ(-a/2)= ψ(a/2)=0
即
得它的解为: 或
由两组解可得, n=1,2,3,……
对于第一组解,n为奇数;对于第二组解,n为偶数。
考虑到势函数关于坐标原点对称,波函数必有确定的宇称,由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为:
或
上边两组解可合并为一个式子,即
归一化,可得到
习题2.4 二维无限深方势阱问题
设质量为μ的粒子在势场
中运动,求束缚态解。
解:由前面的知识可以知道当粒子处于V(x,y)=∞ 时,则粒子的波函数为零,即
ψ(x,y)=0 (x,y) ((0,a1 ),(0,a2 ))
粒子在(x,y)∈((0,a1),(0,a2))内的Schr?dinger方程
即:
利用变量分离法,可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令
ψ(x,y)=X(x)Y(y)
将ψ(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schr?dinger方程中,得
令
则Schr?dinger方程可化为:
则其解为:
由此可设波函数为:ψ(x,y)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2) (x,y) ∈ ((0,a 1),(0, a2))
由边界条件:ψ(x,0)= ψ(0,y)= ψ(a1 ,y)= ψ(x,a2)=0代入波函数中,得
,故可取
∴ψ(x,y)=Asink1xsink2y (x,y) ∈ ((0,a1),(0,a2))
由边界条件ψ(a1,y)= ψ(x,a2)=0得
则得到 k1a1=n1π, k2a2=n2π (n1,n2=1,2,3……)
即 ,
∴
波函数
由波函数的归一化条件得到:
得
所以,二维无限深方势阱的波函数为:
, n1,n2=1,2,3……
能级为:
习题2.5 三维无限深方势阱问题
设质量为μ的粒子在势场
中运动,求束缚态解。
解:由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。即
ψ(x,y,z)=0 (x,y) ((0,a1),(0,a2),(0,a3))
在盒型势阱内的定态Schr?dinger方程
即:
利用变量分离法,可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就
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