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第2章一维势场中的粒子:习题解答讲述

第2章 一维势场中的粒子 习题2.1 在三维情况下证明定理1-2。 证明:实际上,只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量即可。 习题2.2 方程 的一般解亦可写为如下形式: 或 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。 解:方法1:令势阱内一般解为 ,代入边界条件有 , 解得: ,有 所以: 归一化可求得: 且有: 方法2:令势阱内一般解为,代入边界条件有 解得 所以: 归一化可求得: 且有: 习题2.3 设质量为μ的粒子在势场 中运动,求定态Schr?dinger方程的解。 解:方法1: 本问题与一维中心不对称无限深势阱 的差别仅在于坐标原点的选择,将教材中式(2.6) ,n=1,2,3 …… 由定理2可知,本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下: 当n=2k为偶数时,为关于x的奇函数,此时波函数为奇宇称; 当n=2k+1为奇数时,为关于x的偶函数,此时波函数为偶宇称; 方法2:本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下: 1.写出分区的定态Schr?dinger方程 由前面提到的,当V0→∞时,ψ=0 故阱外波函数为零,即 ψ(x)=0, |x|≥a/2 2、引入参数简化方程,得到含待定系数的解,令 则阱内定态Schr?dinger方程为:ψ″(x)+k2ψ=0 由此得阱内的通解为: 式中A、B为待定常数。 3、由波函数标准条件确定参数k,并代入ψ(x)。 既然阱外的波函数ψ(x)=0,由波函数的连续性条件可得ψ(-a/2)= ψ(a/2)=0 即 可解得, n=1,2,3,…… ∴ 归一化,可得到 方法3:本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解,过程如下: 1.写出分区的定态Schr?dinger方程 由前面提到的,当V0→∞时,ψ=0 故阱外波函数为零,即 ψ(x)=0, |x|≥a/2 2、引入参数简化方程,得到含待定系数的解,令 则阱内定态Schr?dinger方程为:ψ″(x)+k2ψ=0 由此得阱内的通解为:ψ(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|a/2 式中A、B为待定常数。 3、由波函数标准条件确定参数k,并代入ψ(x)。 既然阱外的波函数ψ(x)=0,由波函数的连续性条件可得ψ(-a/2)= ψ(a/2)=0 即 得它的解为: 或 由两组解可得, n=1,2,3,…… 对于第一组解,n为奇数;对于第二组解,n为偶数。 考虑到势函数关于坐标原点对称,波函数必有确定的宇称,由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为: 或 上边两组解可合并为一个式子,即 归一化,可得到 习题2.4 二维无限深方势阱问题 设质量为μ的粒子在势场 中运动,求束缚态解。 解:由前面的知识可以知道当粒子处于V(x,y)=∞ 时,则粒子的波函数为零,即 ψ(x,y)=0 (x,y) ((0,a1 ),(0,a2 )) 粒子在(x,y)∈((0,a1),(0,a2))内的Schr?dinger方程 即: 利用变量分离法,可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令 ψ(x,y)=X(x)Y(y) 将ψ(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schr?dinger方程中,得 令 则Schr?dinger方程可化为: 则其解为: 由此可设波函数为:ψ(x,y)=Asin(k1x+δ1)sin(k2y+δ2) (x,y) ∈ ((0,a 1),(0, a2)) 由边界条件:ψ(x,0)= ψ(0,y)= ψ(a1 ,y)= ψ(x,a2)=0代入波函数中,得 ,故可取 ∴ψ(x,y)=Asink1xsink2y (x,y) ∈ ((0,a1),(0,a2)) 由边界条件ψ(a1,y)= ψ(x,a2)=0得 则得到 k1a1=n1π, k2a2=n2π (n1,n2=1,2,3……) 即 , ∴ 波函数 由波函数的归一化条件得到: 得 所以,二维无限深方势阱的波函数为: , n1,n2=1,2,3…… 能级为: 习题2.5 三维无限深方势阱问题 设质量为μ的粒子在势场 中运动,求束缚态解。 解:由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。即 ψ(x,y,z)=0 (x,y) ((0,a1),(0,a2),(0,a3)) 在盒型势阱内的定态Schr?dinger方程 即: 利用变量分离法,可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就

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