复变函数引言.docVIP

引 言 我们知道,在接实系数一原二次方程 时,如果判别式就会遇到负数开平方问题.最简单的例子,是在解方程 时,就会遇到-1开平的问题. 十六世纪中叶,意大利卡尔丹( Cardan,1545)在解三次方程时,首先产生了负数开平方的思想.他把40看作 与的乘积这只不过一种纯形式的表示而已,当时谁也说不上这样表示有什么好处. 为了使负数开平方有意义,也就是使上述方程有解,我们需要再一次扩大系数,于是就引进虚数,使实数域扩大到复数域.但最初,由于对复数的有关概内及性质了解的不清楚,用它们计算又得到一些矛盾,因此,长期以来,人们把复数看作不能接受的”虚数”.直到十七世纪和十八世纪,随着微积分的发明与发展,情况才逐渐有了改变.另外的原因,是由于这个时期复数有了几何的解释,并把它们与平面向量对应起来解决实际问题的缘故. 关于复数理论最系统的叙述,是由瑞士数学家欧拉(Euker)作出的.他在1777年系统的建立了复数理论发现了复只函数与三角函数间的关系,创立了复变函数论的一些基本定理,并开始把它们用到水力学和地图制图学上。用符号 “” 作为虚数单位,也是他首创的.此后才被人们广泛承认和使用. 在复数域内考虑问题往往比较方便.例如一元次方程其中系数 都是复数在复数域内恒有解.这就是著名的代数基本定理,它用复变函数理论来证明,是非常简洁的.又如在实数域内负数的对数无意义,而再复数域内,我们就可以定义负数的对数. 在十九世纪,复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)德国数学家黎曼(Riemann)维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已经形成非常系统的理论，并且深刻的渗入到代数学，解析数论微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支。同时它在热力学，流体学和电力学等方面也有很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛的应用在理论物理，弹性理论和天体力学等方面，与数学中的其他分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论，解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且还开了一些新的分支，复变函数逼近论，黎曼曲面，单叶解析函数论，多复变函数论，广义解析函数论和拟保形式变换等。另外，在种种抽象空间的理论中复变函数换常常为我们提供新思想的模型，复变函数研究的中心对象是所谓的解析函数，因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论。 复变函数是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学分支之一。我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数做过重要工作，不少成果也达到当时的国际水平。而今，在他们的热忱帮助下，我国许多中青年数学工作者，正在健康成长，不少人已在数学各个领域作出了许多优异的成绩。