矢量与场论讲述.ppt

矢量分析与场论复习课 一、内容提要 第一章.矢量分析 1.矢性函数及其极限、连续以及有关导数、微分、积分等概念都和高数中数性函数的相应概念完全类似。 2.本章所讨论的矢性函数仅限于一个自变量 ，完全可以推广到多元矢性函数 。 3.本章重点是矢性函数的概念及其微分，特别是导数的几何意义： 1） 是位于矢端曲线上的一个切向矢量，恒指向t值增大的一方。 2） 单位切向矢量，恒指向s增大的一方。 第二章 场论 1.本章结构 * 4.矢量保持定长的充要条件是： 与其导矢 相互垂直。 5.在矢量积分中，注意两个矢量函数的数量积和矢 量积的分部积分公式的差异性： 2.数量场中的函数u的方向导数是一个数量： 表示：场中一点处函数u沿某一方向的变化率 3.数量场中的梯度是一个矢量，梯度矢量有两个性质： 1）梯度在任一方向上的投影等于函数在该方向上 2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过 该点的等值面且指向函数值增大的一方 的方向导数： 4.矢量场A中穿过某个曲面S的通量为 如果S是一个封闭曲面，则矢量场A穿出S的总通量 1）当 时，则S内必有产生通量的源头； 2）当 时，则S内必有吸收通量的源头； 3）当 时，我们不能断言S内无源头； 5.矢量场A的散度是一个数量，表示此矢量场在这个 点处散发或吸收通量的强度。 由此可得奥氏公式的矢量形式： 6.矢量场A沿有向闭曲线L的环量： 矢量场A在点M处沿方向n的环量面密度： 7.矢量场A的旋度是一个矢量：它在任一方向上的投影 等于场A沿该方向的环量面密度，即 直角坐标系下计算公式 由此可得stokes公式的矢量形式： 8.三个重要的矢量场 1）. 有势场：在场中存在单值函数u(M)满足 称函数v=-u为场的势函数 定理 在线单连域内矢量场A为有势场的充要条件： 2）. 管形场： 定理 在面单连域内矢量场A为管形场的充要条件： 定理 在面单连域内矢量场A为管形场的充要条件： 存在矢量场B满足： 2）. 调和场： 调和函数：满足Laplace方程且具有二阶连续偏 导数的函数 9. 哈密顿算子 哈密顿（W.R.Hamilton）引进了一个矢性微分算子： 称为哈密顿算子。它在运算中具有矢量和微分的双重性质 运算规则： 由此可见有下面的结论： 二、例题讲解： 例1 已知矢量 计算 例2 证明 的图形为一抛物线. 证明 旋转坐标轴，使 轴与 重合且同向，于是 图形的矢量线方程为 其对应的参数方程为 消去t，得 可见，所论图形为一抛物线 例3 求曲线 和法平面方程. 解： 于是，所求切线方程为 法平面方程为 例4 解：用分部积分法 于是， 例5 解：用分部积分法 剩下的过程请大家完成. 答案： 例6 解： 例7 解： 例8 解：采用割补法： 则由奥氏公式，所求通量为： 例9 解： *