江苏省盐城市时杨中学2014-2015届高二下学期期中考试数学(理)试卷 含解析.docVIP

盐城市时杨中学 2014/2015学年度第二学期期中考高二年级 数学试题（理科） 　一．填空题（5分×14） 1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数； 2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲； 3．复数是虚数单位，则z在复平面内对应的点在第▲▲▲象限； 4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲； 5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的对角线长为.将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a、b，则矩形的对角线长为▲▲▲； 6．已知，其中是虚数单位，则a＋b＝▲▲▲； 7．已知…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲； 8．计算：▲▲▲； 9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲； 10．用数学归纳法证明不等式“”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲； 11．二项式展开式中的常数项是▲▲▲； 12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲； 13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种； 14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种. 二．解答题（共6小题） 15．（14分）已知复数满足. (1)求复数，并判断是否为方程的一个根；(2)求复数的模. 16．（14分）已知复数z＝. (1) m取何实数值时，z是实数？ (2) m取何实数值时，z是纯虚数？ 17．（14分）已知关于x的一元二次方程，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率. （2）若，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 18．（16分）已知数列满足条件. (1)若，求的值. (2)已知对任意的，都有，求证：对任意的正整数都成立； (3)在(1)的条件下，求. 19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. （1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 20．（16分）已知，试用数学归纳法证明：. 高二数学试题（理科）参考答案 1. 60 2. 22 3. 二 4. 5. 6.3 7. 8.0 9. 10. ＋－(－也正确) 11.10 12. 13. 2 880 14. 120 15. (1)， 方程的根为，所以复数是该方程的一个根； (2)， ∴. 16.(1)，解得或5, 而时，实部没有意义，所以舍去，可得m=5； (2)，解得或3. 17.设事件A为“方程有实根”. 当a≥0且b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值. 事件A中包含5个基本事件，事件A发生的概率为P（A）=； （2）因为，所以当时，满足a≥b， ∴P（A）=. 18.(1)； (2)∵， ∴， ∴. 即对任意的正整数都成立； (3)由前面的结论，可得. 19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A=144种. （2）确定2个空盒有C种方法. 4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法. 故共有C( CCA+·A）=84种. 20.证明：⑴ 当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝ ∵ ()2＝＝＞()2＝＝ ∴ 不等式成立． ⑵ 假设当n＝k时，不等式成立． 即(1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)＞ 当n＝k＋1时， (1＋)(1＋)(1＋)…(1＋)(1＋)＞ ·(1＋)＝(＋) 要证(＋)＞ 需证＋＞ 即证＞0 ， ∵ k∈N*，∴ ＞0成立 ∴ 当n＝k＋1时，不等式成立． 由⑴、⑵知，对任意n∈N*，不等式成立．