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题型一、求椭圆的标准方程 例一．解析：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（）， ∵，，∴， 所以，椭圆的标准方程为。 （2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（）， 由椭圆的定义知， ， ∴，又∵，∴， 所以，椭圆的标准方程为。 （3）∵焦距为，∴， ∴，又∵，∴，， 所以，椭圆的标准方程为或． （4）设椭圆方程为（）， 由得， 所以，椭圆方程为． 例2.解析：（1）设动圆的半径为r，动圆圆心P为(x，y)，根据已知条件得 |PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r，则|PC1|＋|PC2|＝10. ∴P点的轨迹为以C1(－3,0)、C2(3,0)为焦点，长轴长2a＝10的椭圆，则a＝5，c＝3，∴b2＝16，所求椭圆的方程为 （2）用定义得 题型二、椭圆的几何性质的应 例三 1.解：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。 题型三、直线与椭圆的综合应用 例5．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为，． 如图，设，其中， 且满足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以， 化简得，解得或． （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， ． 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 解法二：由题设，，． 设，，由①得，， 故四边形的面积为 ， 当时，上式取等号．所以的最大值为． 例6.解:(1)由知,设,因在抛物线上, 故…① 又,则……②, 由①②解得,.而点椭圆上,故有即…③, 又,则…④ 由③④可解得,,∴椭圆的方程为. (2)设,, 由可得:,即 由可得:,即 ⑤⑦得: ⑥⑧得: 两式相加得 又点在圆上,且,所以, 即,∴点总在定直线上. (1)设P的轨迹方程为 （a2） cos∠F1PF2最小值为 ，a2=3 ∴P点轨迹方程为 （2）设A（x,y）,B(x2,y2) ∵ ∴|MA|2=|MB|2 ∴x+(y1+1)2=x22+(y2+1)2 ∴(x1+x2)(x1－x2)+(y1+y2+2)(y1－y2)=0 ∴ ∴(x1+x2)+k(y1+y2+2)=0 (A) 两式相减得 ∴ 代入（A） k(－2y1－2y2+2)=0 ∵k≠0 ∴y1+y2=1 ∴x1+x1=－3k 设直线方程为:y=kx+b (3k2+1)x2+6bkx+3b2－3=0 x1+x2= 2b=3k2+1 △=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)0 ∴3k2+1b2 ∴3k2+1()2 k21 ∴k∈（－1，1） （3） 4x2+6mx+3m2－3=0 设A（x1,y1）,B(x2,y2) ∴ |x1－x2|= |AB|=∴m=± m=时， M到距离d1= m=－时， M到距离d2=－ ，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将 ， 代入①化简得 . (2) 又由（1）知 ，∴长轴 2a ∈ []. 例9. 解：（1）A的方程为， 圆B的方程为， …………2分得， …………4分P在直线上，所以即，…………6分． …………8分，所以此时所求椭圆方程为， …………9分是椭圆上一点，则 ，其中， 1°若时，则当时，有最大值， 由得或（都舍去）； …………13分时，则当时，有最大值， 由得（舍去负值）； …………15分． 例 10.解： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 3分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 5分 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故．由知，从而．又， 故， 即在题设条件下，恒有． 12分 D F B y x A O E