第五节　综合应用.pptVIP

* 第五节　综合应用 1. (必修2P100习题2.2(1)第7题改编)点(2a，a－1)在圆 x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是_____________． 基础达标 解析： 由(2a)2+(a-2)2＜5得- a1. 2. 若直线ax＋2by－2＝0(a，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的面积，则＋的最小值为________． 4 解析：已知直线过已知圆的圆心(2,1)，即a+b=1. 所以 + = (a+b) =2+ + ≥4. 3. 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝25被直线l：y＝kx＋b截得的弦长为8，则圆心到直线l的距离为________. 3 解析：由题意知，半径r=5，∵d2=r2-42=9，∴d=3. 4. 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有________个． 3 解析：因为圆心到直线的距离为 =2，又因为圆的 半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个． 5. 圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是_______________. 解析：由 得(1+k2)x2+4kx+3=0. ∵直线与圆没有公共点的充 要条件是判别式D=(4k)2- 4 3(1+k2)0，∴k2-30， ∴- k . 【例1】　已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.求证：对任意m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上． 分析：注意到l1与l2互相垂直，且分别过定点(0,0)、(2,1)，抓住这个图形特征可“顺藤摸瓜”． 题型一　直线与圆的方程的综合应用 证明：l1与l2分别过定点(0,0)(2,1)，且互相垂直， ∴l1与l2的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆上，则有x(x－2)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－2x－y＝0. 　已知矩形AEFD的两条对角线相交于点M(2,0), AE边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点 T(－1,1)在AD边所在的直线上．求矩形AEFD的外接圆P的方程． 变式1－1 解：设A点坐标为(x，y), ∵kAE＝ ， 且AE⊥AD，∴kAD＝－3， 又T(－1,1)在AD上， ∴ ∴ 即点A的坐标为(0，－2)． 又∵点M是矩形AEFD两条对角线的交点， ∴点M(2,0)即为矩形AEFD外接圆的圆心，其半径r＝|MA|＝2 ， ∴圆P的方程为(x－2)2＋y2＝8. 【例2】　如图，已知圆M为Rt△ABC的外接圆，A(－2,0)，B(0，－2)，点C在x轴上，点P为线段OA的中点，若DE是圆M中绕圆心M运动的一条直径，试探究·是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由. 题型二　与直线和圆方程有关的定值问题 分析：设点C的坐标为(x,0)， 在Rt△ABC中，AB⊥BC，故kAB·kBC＝－ 1，即 × ＝－1，解 得x＝4，在圆M中，易得M(1,0)，又点P 为线段OA的中点，故P(－1,0). 探究 是否为定值，可先从特殊位置入手，当 DE与AC重合时， · ＝ · ＝1×5×cos 180°＝－5；当DE与AC垂 直时，有D(1,3)，E(1，－3)，故 ＝(2,3)， ＝(2，－3)，此时 · ＝22－32＝－5，故猜想 · 为定值 －5. 解：方法一(设而不求)：设D(x1，y1)， E(x2，y2)，当直线DE的斜率存在时，不妨 设其为k，则直线DE的方程为y＝k(x－1) ①，又圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9②，由 ①、②联立方程组消去y得：x2－2x＋ ＝0，利用根与系数的关系有：x1＋x2＝2， x1x2＝ ，所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝ k2·[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－ ， 而