2015年高考试题数学理（湖南卷） 解析版_33173.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科） 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1.已知（为虚数单位），则复数=（ ） B. C. D. 【答案】D. 2.设A,B是两个集合，则””是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】 试题分析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C. 考点：集合的关系. 3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( ) A. B. C. D. 【答案】B. 考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和. 4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 【答案】A. 【解析】 试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时， 的最小值是，故选A. 考点：线性规划. 5.设函数，则是（ ） A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 【答案】A. 考点：函数的性质. 6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ） B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】 试题分析：，令，可得，故选D. 考点：二项式定理. 7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 【答案】C. 【解析】 试题分析：根据正态分布的性质，，故选C. 考点：正态分布. 8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B. 考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积. 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ，，∴，又∵， ∴，故选D. 考点：三角函数的图象和性质. 10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. . 【答案】. 【解析】 试题分析：. 考点：定积分的计算. 12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 【答案】. 【解析】 试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人. 考点：1.系统抽样；2.茎叶图. 设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一 个端点，则C的离心率为 . 【答案】. 【解析】 试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上， ∴. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 . 【答案】. 【解析】 试题分析：∵，，成等差数列，∴， 又∵等比数列，∴. 考点：等差数列与等比数列的性质. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 . 【答案】. 考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. 三、解答题 16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： （1）； （2） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）首先根据垂径定理可得OME=， ENO=，再由四边形的内角和即可得证；（2） 由（1）中的结