第9章节有限元线性方程组的解法.pptVIP

* 前面，我们主要讨论了静力平衡问题的有限元格式。在确定了离散所需要的单元形式后，需要进行单元特性矩阵的计算，最后由单元特性矩阵集合而成的有限元求解方程组 是一组联立的线性代数方程组。这组方程在静力平衡问题中就是以结点位移为基本未知量的系统结点平衡方程。有限元求解的效率很大程度上取决于这组线性代数方程组的解法。有限元分析可以通过细分单元的网格来提高解的精度。因此，当有限元分析采用越来越多的单元离散模型来近似实际的结构时，线性联立方程组的阶数越来越高。曾经有相当一部分的研究工作是围绕如何有效地求解这组庞大的线性方程组的。 （9-1） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在线性静力分析中，解代数方程组的时间在整个解题时间中占很大的比重。而在动力分析和非线性分析中这部分比重也是相当大的。若采用不适当的求解技术，不仅计算费用大量增加，更严重的是有可能导致求解过程的不稳定和求解的失败。 在有限单元法中，需求解的线性代数方程组（6-1）的系数矩阵K，即刚度矩阵，具有大型、对称、稀疏、带状分布以及正定、主元占优势的特点。在求解方程组时必须利用上述特点，以提高方程求解的效率，否则将无谓的提高计算费用。 线性联立方程组的解法可以分作两大类：直接解法和迭代法。 直接解法以高斯消元法为基础，求解效率高。在方程组的阶数不是特别高时（例如不超过10000阶），通常采用直接解法。当方程组的阶数过高时，由于计算机有效位数的限制，直接求解法中的舍入误差，消元中有效位数的损失等将会影响方程求解的精度，此时可用迭代解法。 本章主要讨论几种常用的比较有效的直接解法，LU分解法和波前法。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限元法中，线性代数方程组的系数矩阵是对称的，因此可只存储一个上三角（或下三角）矩阵。但是由于矩阵的稀疏性，仍然会发生零元素占绝大多数的情况。考虑到非零元素的分布呈带状特点，在计算机中系数矩阵的存储一般采用二维等带宽存储或一维变带宽存储，后者更为常用。 一维变带宽存储就是把变化的带宽内的元素按一定的顺序存储在一维数组中。按照解法可分为按行一维变带宽存储及按列一维变带宽存储。这里主要进行按列一维变带宽存储。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对称 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 按列一维变带宽存储是按列依次存储元素，每列应从主对角线元素直至最高的非零元素，即该列中符号最小的非零元素为正，即图中突线所包括的元素。由图可以看出，这种存储对夹在非零元素内的零元素，如K24，K58等则必须存储。上图表示的是这些元素按列在一维数组中的排列。 把系数矩阵中的元素紧凑存储在一维数组中，必须有辅助的数组帮助记录原系数矩阵的情况，例如对角元素的位置、每列元素的个数等。辅助数组M（n + 1)，用以记录主对角元素在一维数组中的位置。对于下图的一维数组，它的 （8 + 1) 数组是： M：[ 1 2 4 6 10 12 16 18 22 ] 前n个数记录的是主对角元素的位置，最后一个数是一维数组刚度加1。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 利用辅助数组M，除了知道各主元在一维数组中的位置以外，