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梯度和旋度
在连续可微的矢量场A中,对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V,其闭合曲面为S,定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限
矢量场 A在该点的散度(divergence of A)
若 则该点散度▽·A ≠ 0,该点就是矢量场A的一个源点
若 则 该点散度▽·A = 0,该点不是矢量场A的源点
散度可以理解为一个流场中,某点的流速v在各方向的变化率之和,是一个标量。
根据这个定义可以知道,如果在流场中取一小空间,其散度不为零的话,就说明有流入或流出的流体。
当散度为零的话,说明该小空间的流体是连续的,没有多余的流体流入流进。所以,连续体的连续式就是以此式为零。
散度
散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散。
其计算也就是我们常说的“点乘”。
散度是标量,物理意义为通量源密度
散度为零,说明是无源场;散度不为零时,则说明是有源场(有正源或负源)
梯度
假设有一个房间,房间内所有点的温度由一个标量场φ给出的,即点(x,y,z)的温度是φ(x,y,z)。假设温度不随时间改变。然后,在房间的每一点,该点的梯度将显示变热最快的方向。
梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。
梯度
考虑一座高度在(x,y)点是H(x,y)的山。H在一点的梯度是在该点坡度(或者说斜度)最陡的方向。
梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。
梯度是矢量,其大小为该点函数的最大变化率,即该点的最大方向导数。
标量的梯度是矢量
梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线(面)相垂直的方向,它指向函数增加的方向。
梯度
梯度用张量形式表示就更简练:即“φ,i”,式中,“,”表示普通微分,i=1,2,3(三维时)表示φ在空间3个方向微分的分量。
旋度
电荷分布点是电场的源点静电场的场线无涡旋状结构
磁场无源点磁场的场线有涡旋状结构
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