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第七章 树与二叉树 提纲 7.1 树的基本概念 7.2 树的存储结构 7.3 二叉树 7.4 二叉树的存储结构 7.5 树的遍历 7.1 树的基本概念 7.1 树的基本概念 树的定义 树：n（n≥0）个结点的有限集合。当n＝0时，称为空树；任意一棵非空树满足以下条件： ⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点； ⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。 树的定义是采用递归方法 7.1 树的基本概念 7.1 树的基本概念 树的基本术语 结点的度：结点所拥有的子树的个数。 叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。 树的度：树中各结点度的最大值。 7.1 树的基本概念 树的基本术语 孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点； 兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。 7.1 树的基本概念 树的基本术语 路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1=ik），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。 7.1 树的基本概念 树的基本术语 祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。 7.1 树的基本概念 树的基本术语 结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第i层，则其孩子结点在第i+1层。 树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。 7.1 树的基本概念 树的基本术语 有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。 数据结构中讨论的一般都是有序树 7.1 树的基本概念 树的基本术语 森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。 7.1 树的基本概念 树结构和线性结构的比较 7.2树的存储结构 多重链表表示法 定长节点的多重链表表示 不定长节点的多重链表表示 三重链表表示法 7.3 二叉树 研究二叉树的意义？ 二叉树的结构相对简单，其运算也自然简单，便于初学者入门。 由于多叉树可以借助一定的规则转换为二叉树，因此二叉树结构在应用中具有非常重要的地位。 7.3 二叉树 二叉树的定义 二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。 7.3 二叉树 二叉树的特点 每个结点的度只可能是0，1，2； 二叉树是有序树，即使某结点只有一棵子树，也要区分该子树是左子树还是右子树。 7.3 二叉树 二叉树的5种基本形态 7.3 二叉树 特殊的二叉树 斜树 1 .所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树； 2 .所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树； 3.左斜树和右斜树统称为斜树。 7.3 二叉树 特殊的二叉树 满二叉树 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。 满二叉树的特点： 叶子只能出现在最下一层； 只有度为0和度为2的结点。 7.3 二叉树 7.3 二叉树 特殊的二叉树 完全二叉树 对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。 7.3 二叉树 7.3 二叉树 完全二叉树的特点 1. 叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部； 2. 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。 3. 深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。 7.3 二叉树 例：在有n个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？ 因为在满二叉树中没有度为1的结点，只有度为0的叶子结点和度为2的分支结点，所以，n＝ n0 + n2 n0＝n2 + 1 即叶子结点n0＝(n + 1)/2 7.3 二叉树 任一个有n个结点的二叉树，有m个叶子结点，则非叶子结点数（度为2）有多少个 ？ 因为 n0＝n2 + 1 n2 ＝ n0 – 1n2 ＝ m - 1 7.3 二叉树 7.3 二叉树 性质1 ：二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）。 推广：深度为h的k叉树中，第i层上最多具有ki－1个结点。 7.3 二叉树 性质2：一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最少有k个结点。 深度为k且具有2k-1个结点的二叉树一定是满二叉树， 深度为k且具有k个结点的二叉树不一定是斜树。 7.3 二叉树 性质3：在一棵二叉树中，如果叶子结点数为