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大学文科数学 授课人： 数学教研室 张政辉 Email：zhzhang@njmu.edu.cn TelOffice: 五教楼5722 2、自变量趋向有限值时函数的极限 第三节 连续函数 第三节 连续函数 3、函数的连续性和可导性之间的关系 2. 复合函数的求导法则 2.2 基本初等函数的求导公式 §3 函数的微分 2. 微分的几何意义 3.2 微分公式与法则 5.2 洛必达法则 5.3 单调性、极值与最值 2 函数的极值 微分的几何意义 基本初等函数的微分 3 不定积分的线性运算法则 2. 定积分的分部积分法 例 计算 解 令 则 可以先求原函数(不定积分)，再代入上下限 例 计算 解 先用换元法,令 于是 练 习 题 填空题 ————————————. ————————————. ————————————. 作业 P256习题5-4 2. 4.(1)(3)(5) 6.4 定积分应用 一、元素分析法 (1) 选取一个变量例如x为积分变量,并确定它的变化区间[a,b]; (2) 求元素(微元): 在[a,b] 中的任一小区间 [x, x+dx]上找出所求量的部分量的近似值 dA= f (x)dx (3) 以元素 f (x)dx为被积表达式, 在区间[a,b]上作定积分得 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 解 作图并求两曲线的交点， 面积元素 选 为积分变量 例 计算由两条抛物线 y2 = x 和 y = x2 所围成的图形的面积 得 解 作图, 选 为积分变量 例 (2,-2),(8,4) T 计算由曲线 y2 = 2x 和直线 y = x - 4所围成的图形的面积 于是所求面积 问题：积分变量只能选 x 吗？ 求两曲线的交点 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 解 建立坐标系如图 例 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的体积为 功元素为 (千焦)． 质量为 例 求 解 例 求 解 例 求 解 例 求 解 类似可得 填空： 1 、 = dx x ________ ) 1 ( 2 x d - ； 练习题 2 、 = - dx e x 2 ___ ) 1 ( 2 x e d - + ； 3 、 = x dx ____ ) ln 5 3 ( x d - ； -2 4 、 2 9 1 x dx + = ____ ) 3 arctan ( x d ； 5 、 = - 2 1 x xdx ____ ) 1 ( 2 x d - ； - 作业 P114习题五 1、(1)-(4) 2、(1)-(6) 2 分部积分法 定理 (分部积分法) 若函数u = u(x)和v = v(x)可导, 且有 证 两边积分即得 分部积分公式 dv du 例1 求积分 解 令 如果 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 分部积分公式 例2 求积分 解 例 求积分 解 令 例 求积分 解 （再次使用分部积分法） ) ( 2 2 C e xe e x x x x + - - = = (x2 - 2x + 2) ex + C 例 求积分 解 例 求积分 解 注意循环形式 填空： 3 、 ò = xdx x sin ____________________ ； 4 、 ò = xdx arcsin _______________________ ； 1 、计算　 ò xdx x ln 2 ， = u 可设　 _____ , = dv ________ ； 2 、计算　 ò - xdx e x cos ， = u 可设　 ____ , = dv ________ ； C x x x + + - sin cos C x x x + - + 2 1 arcsin dx x 2 x ln , x e - xdx cos 练习题 P114习题五 3(1)-(3) 作业 第六节 定积分 6.1 定积分的概念 引例1 求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y = f (x) ( f (x)≥0) 、 x轴与两条曲线 x = a 、 x = b 所围成. 思路: 将曲边梯形分割成小曲边梯形, 用矩形面积之和近似取代曲边梯形面积 （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 思路: 用无穷多个小矩形的面积之和来求曲边梯形面积． 第一步 通过分割求近似 把区间[a