高数上知识提纲%[].docVIP

：函数与极限 求函数的定义域（注意是自变量的取值范围），判断函数的奇偶性、周期性、求函数的反函 数，求函数的表达式； 收敛数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性（注意不等号）、与子列关系； (注意收敛数列必有界，有界数列未必收敛，但单调有界数列必收敛 (既然收敛数列必有界，那么无界数列（既无上界又无下界）必发散 ③ 注意利用这个等价关系可以判断数列极限发散即不存在 函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性（注意不等号）、与数列极限关系； (保号性的典型应用就是判断式子的符号：见下例 设判断是否为的极值点，若是是极大值点还是极小值点? 解：，由函数极限的局部保号性得： 对有，进而对有，所以 是的极大值点。 无穷小、无穷大的定义，运算性质，无穷小与无穷大的互倒关系，无穷小的比较（注意）； 会判断初等函数 求极限（求极限，首先必须判断类型） 常用的方法如下： 两个重要极限（注意和区别）， 注意变形： 等价无穷下代换（注意要代换的项必须是无穷小，且和剩下的部分是相乘或者相除或者 复合的关系） 时常用的等价无穷小如下： ( ; ( , 注意变形：时也有： ( ( （3）洛比达法则 (对型的极限，可约去零因子，可分母分子有理化约去零因子，可用第一重要极限， 可用等价无穷小代换，可用洛比达法则等，要根据具体问题选择简便方法综合求； (对于其它的未定式如，可以通过通分或者分母分子有理化或者先 取对数后取指数等的办法化为型 除此外我们也经常用到下面的方法： 定义法（一般用在证明中） 连续函数在连续点处的极限值为该点的函数值，即 (注意所有的初等函数在定义区间的点都是连续的（注意是连续区间） (注意変限函数是连续函数，即 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大 有界量乘以无穷小仍是无穷小 极限的四则运算法则（注意前提） (收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=发散或者收敛 (，但是未定 单调有界准则（单调增有上界或者单调减有下界时数列必收敛） (判断递推数列的收敛性一般会用到该准则，然后解关于极限的一个方程便可求出极限 夹逼准则 泰勒公式求极限（本次考试不考） 利用定积分的定义，如： 或 此外还要注意： (多项式比多项式的极限如，注意与区别； (含有指数函数的极限如：； (幂指函数的极限一般求法如下： 第一种情形见教材69页； 第二种情形为型，利用第二重要极限做； 其他情形可以通过先取对数后取指数变形之后求； 单侧极限（左极限、右极限，与函数极限的关系，的关系） 注意：(不存在，还要注意其相应的变形，总之遇到指数函数的极限要小心； (不存在，一定要注意是中的哪一个； (但是对于数列指 函数连续的定义及等价条件（连续点必须有定义，且函数在该点的某一邻域有定义） 会利用该等价关系求函数中的未知常数 9.函数的间断点类型 （1）第一间断点（左右极限都存在）：相等为可去间断点，不等为跳跃间断点 （2）第二间断点（左右极限至少有一个不存在） 注意： (可疑间断点（可能为间断点的点）：无定义的点如分母为零的点，分段函数的分界点等， 但必须注意函数在该点的某去心邻域的有定义，区间的端点不是间断点，间断点是个确定 的点，所以都不是间断点，如：虽然在-1无定义，但不是间断点，事实 上该函数无间断点。 (含有的函数间断点的判断尤其要注意，因为，如教材75页的第3 大题的第（2）个选择题； (对于函数是以极限形式的情形，要先求出的具体表达式，再去判断间断点的类型， 如：具体解法如下： 解：， （或者），所以是无穷间断点。 （注意求极限时，要看成常数，所以就变成了的极限） ④是的震荡间断点，而不是无穷间断点， 事实上：取两列 10.闭区间上连续函数的性质 有界最值性定理，零点定理(结合单调性判断方程根的个数，证明根的唯一性)，介值定理 ：导数与微分 1.导数的定义 三种形式： (上面三种形式中时，是不变的，也是不变的； (，即代值和求导不能换顺序； ( ④分段点处求导，必须用定义，求左导数和右导数，若左右导数相等导数存在，否则不存在； ⑤导数是因变量关于自变量的变化率，反映了随变化的变化快慢，导数大于零，表示 随增加，导数小于零，随减少，导数等于零，情况不明；且正的越大增加的越快， 负的越小，减的越快，总