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不等式 一、选择填空题 1.（江苏2004年4分）二次函数y=ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c0的解集是 ▲ . 【答案】。 【考点】一元二次不等式与二次函数。 【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c0的解集： 由表可设y=a（x＋2）（x－3）， 又∵x=0，y=－6，代入知a=1。∴y=（x＋2）（x－3） ∴由ax2＋bx＋c=（x＋2）（x－3）＞0得x＞3或x＜－2。 ∴不等式ax2＋bx＋c0的解集为：。 2.（江苏2005年4分）函数的定义域为 ▲ 【答案】 【考点】函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法。 【分析】由题意得：，则由对数函数性质得：， 即，解得或。 ∴函数的定义域为：。 3.（江苏2006年5分）设、、是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立的是【 】 （A）　 （B） （C）　 （D） 【答案】C。 【考点】不等式恒成立的条件。 【分析】运用排除法，C选项，当时不成立。故选C。 4.（江苏2006年5分）不等式的解集为　▲　 【答案】。 【考点】数函数单调性和不等式的解法。 【分析】∵，∴，即。 解得。 5.（江苏2008年5分）若集合，则中有　　▲　　个元素 【答案】6。 【考点】交集及其运算，解一元二次不等式。 【分析】先化简集合A，即解一元二次不等式，再求与Z的交集： 由得，解得。 ∴，共有6个元素。 6.（江苏2008年5分）设为正实数，满足，则的最小值是　　▲　　 【答案】3。 【考点】基本不等式。 【分析】由可推出，代入中，消去，再利用均值不等式求解即可： 由得，代入得， 当且仅当＝3 时取“＝”。 7.（江苏2009年5分）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= ▲ .学科网 【答案】4。 【考点】集合的子集的概念，利用对数的性质解不等式。 【分析】∵得，∴。 又∵，，∴，即实数的取值范围是。∴4。 8.（江苏2010年5分）设实数，满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是　　▲　　。 【答案】27。 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，等价转化思想。 【分析】∵3≤≤8，∴；又∵4≤≤9，∴，即。 ∵，∴，即。∴的最大值是27。 9.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　　▲　　 【答案】4。 【考点】函数的图象及性质的应用，基本不等式的应用。 【分析】根据函数的对称性，设经过原点的直线与函数的交点为，， 则。 本题也可以直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ长的最小，最小值为4。 10、（2012江苏卷14）已知正数满足：则的取值范围是 ． 【解析】根据条件，得到 ，得到.又因为，所以，由已知，得到.从而，解得. 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题 1.（江苏2004年12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【答案】解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目。 由题意知 目标函数z=+0.5。 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域， 作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大。 这里M点是直线和的交点。 解方程组，得=4，=6。 此时（万元）。 ， ∴当=4，=6时，z取得最大值。 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。 【考点】基本不等式在最值问题中的应用。 【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资和万元，列出和的不等关系及目标函数z=+0.5，利用线性规划或不等式的性质求最值即可。 2.（江苏2004年14分）已知函数满足下列条件：对任意的实数1，2都有 和，其中是大于0的常数.设实数，，满足 和 (Ⅰ)证明，并且不存在，使得； (Ⅱ)证明； (Ⅲ)证明. 【答案】证明：（I）任取 ① 和 ② 可知 ， 从而 。 假设有①式知 ， ∴不