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第一章小结 本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有： 基本概念 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数 . 为群 的非空子集. 则 为 的子群的充分必要条件是:?(1) 任给 , 有 任给 , 有 .任给 , 有 .任给 , 有 设 是 的子群, 则??? 1）当且仅当 , ;??） 当且仅当 , ;??） ?的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此 可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并.(拉格朗日定理)?有限群 的任一子群 的阶数是群 的阶数的因子.]（6）有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.设 为有限群. , 则对任意的 , .是群 的子群任意的 , 都有, ; （3）, , . 6. 变换群、置换群、循环群的结论 一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。 (2)(凯莱定理) ?任一群都同构于一个变换群.. (3)? 个元素的全体置换关于置换的乘法构成群. 每一置换可唯一表为若干个不相交轮换的乘积每一都可以表为若干个对换的乘积.?每一置换都可表为若干个对换的乘积?(7)设 为群, , 设 为群, ,且 , 则 .设 为群, , 如果,则 |ar|=n/d (d=(r,n)) （10）?设 为 阶循环群, . 则 ?为 的生成元的充分必要条件是 ?循环群. （12）循环群设 为循环群, 则 如果 , 则 ;???? 如果 , 则 7. 同态、同构性质 (1) 设G是一个群， 是一个非空集合，若G与对于它们的乘法来说同态，则也是一个群 定理1.8.2 设 与是群, 是 到的同态射.?? ?? 1) 如果 是 的单位元, 则 是的单位元;??? ?2) 对于任意的 , 是 在中的逆元. 即 (3) .8.3-----满射、单射的条件 (4) 定理1.8.4——同态映射保子群、正规子群. (5) 定理1.8.5------同态基本定理 三、??基本方法与题型 群的判别----定义法 子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1；定理2；定理3（有限）； 正规子群的判别方法（四种方法）：定义法； 定理1）-3）； 求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法） 1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。 求正规子群方法：1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群） 求陪集：定义法 求商群方法：按定义 计算置换的乘积、逆、阶----定义方法 把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积 求元素的阶：1）定义方法 2）有关性质 11、判别循环群方法：定义法 12、同态、同构映射的判断：定义方法 13、群同态、同构的证明：构造同态或同构映射 14. 单、满、双射的判断----定义法 15.等价关系的判断 ----定义法，传递性