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第二章前6节习题解答 P35 §1 1．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。 2．举出一个有两个元的群例子。 解 对于普通乘法构成一个群。 对于运算构成群。 对于运算构成群。 它们都是两个元的群。 3. 设是一个非空集合，是一个运算。若①运算封闭；②结合律成立；③中存在右单位元：，有；④，，有。则是一个群。 证(仿照群第二定义的证明) 先证。 ∵，∴，使， ∴，。 ∴。 再证，即是单位元。 ，已证，∴。 ∴。即就是单位元e。再由得到就是。 这说明：中有单位元， 都有逆元。 ∴是一个群。 P38 §2 1. 若群的每一个元都适合方程，那么是可交换的。 证∵ 。 ∴ ∴。 ∴，即是可换群。 2．在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。 证 令是有限群中一个阶的元，∵互逆元是同阶的，∴的阶也大于2，且 (若)。 设中还有阶的元，且，∴的阶也大于2，且。 我们还可以得出，。 这是因为若，矛盾；若，矛盾。 所以在有限群中，阶的元成对出现，因此命题成立。 3. 假定是一个阶是偶数的有限群，在中阶等于2的元的个数一定是奇数。 证 由上题知阶的元的个数是偶数。 ∵是偶数，∴ 阶的元也必是偶数。但阶是1的元只有单位元，∴阶等于2的元的个数为奇数。 4. 在有限群中,每一元素具有一有限阶。 证，，根据鸽巢原理，这个幂至少有两个相同。不妨设，那么。所以命题成立。 P44§4 假定两个群与的一个同态之下， ， 那么的阶是否相同？ 解 不一定。 取，运算为，显然是一个群。取整数加群。 建立，其中。 显然是的同态。的单位元0是一阶元，它的象是一阶元，的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元。 思考：若假定两个群与的一个同构之下， ， 那么的阶是否相同？ 解 肯定相同。 ①若，即，∵是同构，∴，∴的阶也是有限，记，∴。 又∵是到的一个同构，且，∴，∴。 ∴。 ②，下证。反证，若，∵是到的一个同构，且，∴，即的阶不超过m，矛盾。 P50§5 1.假设是集合A的一个非一一变换。会不会有一个左逆元，使？(是A上恒等变换：) 解 可能有。若合成是右合成，，例子如下： 取A=N(自然数集)，是A上一个满射变换，但0的原象有两个：0和1，即不是一一变换。也是A上一个变换(也不是一一变换，0没有原象)，且，∴，∴，∴。 若合成是左合成，例子如下： 取A= N(自然数集)，是A上一个单射变换，但0没有原象，即不是一一变换。也是A上一个变换(非单)，且， ∴，∴，∴。 2. 假定A是所有实数作成的集合。证明，所有A的可以写成 形式的变换作成一个变换群，这个群是不是交换群？ 证 。作集合，本题就是证明是一个变换群。 满足群的定义条件: ① 我们有: ∵,∴,即合成满足封闭性。 ②映射的合成都满足结合律。∴中的元也满足结合律。 ③显然是的恒等变换,它是的单位元。 ④，∵ ，∴。且， ∴。∴是一个变换群。 取和,那么，，∴。这表明：此变换群是非交换群。 3．假定S是一个集合A上的所有变换构成的集合。我们暂时仍用旧符号 ， 来说明一个变换。我们用 来规定一个S上的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对这个乘法来说还是S的单位元素。 证 ∵。 ∴这种运算满足结合律。 ∵。 ∴是S的单位元素。 4．一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 右合成证明如下： 设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即。 对，∵，∴。∵是一一变换，∴能取遍A中的所有元素。∴。∴e是A上的恒等变换。 左合成如下证明如下： 设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即。 对，∵，∴。∵是一一变换，∴能取遍A中的所有元素。∴。∴e是A上的恒等变换。 5．证明实数域上一切可逆的n阶矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群。 证 记G是一切可逆的n阶实矩阵的集合。 ①，即矩阵乘法在G上是封闭的。 ②矩阵乘法满足结合律，当然在G上满足结合律。 ③n阶单位阵，且对，∴n阶单位阵是幺元。 ④，，使，∴A的逆矩阵就是A逆元。 ∴G是一个群。 P55§6 找出中的不能与交换的元。 解 中共6个元：，，，，，。 其中恒等置换、、显然能与交换。通过验证其余三个：、、都不能与交换。 明示：给出群的一个元，要找与可交换的元。因为结合律满足，首先要知道与可交换的元至少有，其中包括，，。对于不是的元，一般要通过验证。 把的所有元写成不相连的循环置换的乘积。 解：，，，，，。 证明 (ⅰ)两个不相连的循环置换可以交换。 (ⅱ)。 证(ⅰ) 设(和(是中任意两个不相连的置换(没有共同元)。分三种情况加以讨论： ①数字在(中出现，且。∵(和(不相连，∴和不在(中出现，即，。 ∴，。∴