贵州大学至学学期考试线性代数试卷A.docVIP

贵州大学2008至2009学年第一学期考试线性代数1试卷A 题??号 一 二 三 四 总?分 统分人 得??分 得??分 评分人 一、填空题（共20分,每空2分） ? 1.三阶行列式?????????????????????。 2.?设，则?????????????????????，?????????????????????。 3.??????????????????????。 4．设，则的伴随矩阵的行列式?????????????????????。 5．元线性方程组有解的充要条件是????????????。（填或=） 6．若向量组线性相关，则向量组?????????????????????。（填线性相关或线性无关） 7．若向量组线性无关，则?????????????????????。 8．已知矩阵为行列矩阵，若，则齐次线性方程组的一个基础解系中有????????????????????????????个向量。 9．设三阶矩阵的特征值为，则行列式?????????????????????。 得??分 评分人 二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。（共20分,每小题5分） 1．设为方阵，若，则或。 答： 2．若向量组可以由向量组线性表出，则向量组可由向量组线性表出。 答： 3．若只有时才有，则向量组和向量组都是线性无关的。 答： 4．设是方阵的一个特征值，则为的特征值。 答： 得??分 评分人 三、计算题（共50分,其中第1，2小题每小题8分，第3小题10分，第4，5小题每小题12分） 1.计算4阶行列式。 2.?问取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 3.?设矩阵，，求，使得。 4．求非齐次线性方程组的一个解及其对应的齐次线性方程组的通解，并写出此非齐次线性方程组的通解。 5．求矩阵的特征值和特征向量。 得??分 评分人 四、证明题（共10分） 已知向量组线性无关，，证明向量组线性无关。 贵州大学2008-2009学年第一学期考试试卷???A 线性代数1 参考答案及评分标准 一、填空题（共20分,每空2分） 1．0?????????2.??13，???????????3．?????????4.??4 5.??=????????6.?线性相关???????7.????????????8.??????9. 18 二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。（共20分,每小题5分） 1.答：不正确。………………………………………………………………（2分） 反例：取，。…………………………………………（5分） 注：反例不唯一，只要能说明结论即可。下同。 2.答：不正确。.................................................（2分） 反例：取向量组，向量组，显然向量组可以由向量组线性表出，但是向量组不能由向量组线性表出。……………………………………（5分） 3．答：不正确。………………………………………………………………（2分） 反例：取向量组，向量组，只有时才有，但是线性无关和向量组线性相关。（5分） 4．答：正确。…………………………………………………………………（2分）??? 因为是方阵的一个特征值，故有向量使得。…………（3分） 于是。 所以为的特征值。……………………………………………………….（5分） 三、计算题（共50分,其中第1，2小题每小题8分，第3小题10分，第4，5小题每小题12分） 1.?解：=………………………………（4分） …………………………（8分） 2.?解：此齐次线性方程组的系数行列式。………………………………（4分） 当，齐次线性方程组有非零解，故。………………………（8分） ?解： ?，………………（5分） 故可逆，所以为所求。…………………………（10分） 4．解：增广矩阵，所以。故非齐次方程组有无穷多解，且。………（5分） 取为自由未知量。 当时，可得到非齐次线性方程组的一个解。………………（7分） 当时，得对应的齐次线性方程组的一个基础解系为，其通解为 ??????????????（）............ ...........（10分） 所以此非齐次线性方程组的通解为 （）。........................（12分） 解：的特征多项式为 。 所以的特征值为。…………………………………………..(6分) 当时，由得方程基础解系。所以（）是对应于的全部特征向量。………….（8分） 当时，由 得方程基础解系。 所以（）是对应于的全部特征向量。…………（10分） 当时，由 得方程基础解系。 所以（）是对应