节变化率与导数导数的计算.docVIP

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变化率与导数、导数的计算 考点 导数的几何意义 1．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________. 解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1. 答案：－1 2．若曲线y＝xα＋1(αR)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：本题主要考查直线与导数的几何意义．由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2. 答案：2 3．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 解：本题主要考查导数的几何意义和函数的零点等问题，意在考查考生的运算求解能力、转化与化归能力． 由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)． (1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切， 所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)． 解得a＝0，b＝f(0)＝1. (2)令f′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 1  所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值． 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点； 当b1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－14b－2b－1b， f(0)＝1b， 所以存在x1(－2b,0)，x2(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b. 由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点． 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． ．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9　　　　　　　　　B．－3 C．9 D．15 解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9. 答案：C ．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为. 答案：B ．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 解析：设曲线在点P处的切线斜率为k， 则k＝y′＝＝， 因为ex0， 所以由均值不等式得k≥，又k0， －1≤k0，即－1≤tanα0，所以≤απ. 答案：D 7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 解析：y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x－3 ．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中kN*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 解析：y′＝2x，在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，a3＝4，a5＝1，a1＋a3＋a5＝21. 答案：21 ．(2009·福建)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3ax2＋， f(x)存在垂直于y轴的切线， f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解， 3a＝－，而x0，a∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)