§3曲面、曲线和二次曲面.PDFVIP

1 一、曲面 在空间解析几何中，任何曲面 都可看作点 P(x, y, z) 的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面 与方程 F (x, y, z) = 0 有下述关系： ? ? ( , , ) 0 ;F x y z ? 1）曲面 上任一点的坐标 (x, y, z) 都满足方程， ? 2）不在曲面 上点的坐标 都不满足方程， ? 则称 F (x, y, z) = 0 为曲面 的曲面方程。 ? §3 曲面、曲线和二次曲面 2 空间曲面的研究有两个基本问题 1）已知曲面上点的轨迹变化规律，求相应的轨迹 方程（曲面方程）； 2）已知方程 ，求相应曲面的几何 图形。 ( , , ) 0F x y z ? 10 几个常见曲面方程的建立 1、球面方程 到球心距离等于定值的动点的轨迹。 0 P P r? 即 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( )x x y y z z r? ? ? ? ? ? 特别当球心在原点时， 2 2 2 2 x y z r? ? ?球面的方程为 0 0 0 0 ( , , )P x y z ( , , )P x y z 3 2 ,AP? ? 4 ,BP ? ? ? ? ?????? ?????? ? 16)4()5()2( 4)6()7()3( 222 222 zyx zyx 例1、求与点 A (3, 7, 6) 的距离为 2 个单位，而与点 B (2, 5, 4) 的距离为 4 个单位的点的轨迹方程。 解： 设P (x, y, z) 为所求轨迹的任一点， 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 7) ( 6) 2 ( 2) ( 5) ( 4) 4 x y z x y z ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 即 ∴所求点的轨迹方程为： 两球面的交线。 4 x o z y 0),( ?zyf ? 0 0 0 (0, , )P y z? ( , , )P x y z do? 0),( 00 ?? zyf 2 2 ( , ) 0f x y z? ? ? 22 0 yxy ???? 2、在 Oyz 平面上有一条曲线 f (y, z) = 0 , 求它绕 z 轴旋转一周生成曲面的方程。 点P0 (0, y, z) 在 Oyz 平面 的这条曲线 上, 当曲线绕 z 轴旋转一周得左图 0 O P O P? ??显然 2 2 2 0 0 ( )y x y z z? ? ? ?即 代入曲线方程得 为曲线 f (y, z) = 0 绕 z 轴旋转一周生成的曲面方程 5 0),( 22 ??? zxyf 0),( 22 ??? zyxg 0),( 22 ??? yzxg 0),( 22 ??? zyxh 0),( 22 ??? zyxh 同理可导出 f (y, z) = 0 绕 y 轴旋转一周生成的曲面方程 旋转曲面的定义： 平面的一条定曲线绕其平面上的一条定直线旋转 一周所成的曲面，称为 旋转曲面。 同理：在 Oxy平面上的曲线 g (x, y) = 0 分别 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 在 Oxz 平面上的曲线 h (x, z) = 0 分别 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程： 6 1 2 22 2 2 ? ? ? c zy a x 1 2 2 2 22 ?? ? c z a yx 旋 转 双 曲 面 2 2 2 2 1 x z a c ? ?例2、在 Oxz 坐标面上的双曲线 分别绕 x 轴 和 z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。 解： 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 7 ),( 22 zyxf ?? zyx ???? 22 1 0? x y z 0 2 1z y? ?例3、试写出在 Oyz 平面上的曲线 以 z 轴为 旋转的旋转曲面方程，并作图。 解： 2( , ) 1f y z y z? ? ?平面曲线 绕 z 轴旋转的曲面方程为 2 2 1z x y? ? ?即 2 1z y? ?图形： 为 Oyz 平面 上的抛物线， 顶点在 z 轴上为 (0, 0, 1) , 对称轴为 z 轴。 8 20 已知方程 F (x, y, z) = 0 求相应曲面的几何图形 2 2 2 2 4 0x y