【课堂新坐标高考数学一轮复习 第一节 平行线截割定理与直角三角形的射影定理课件 理 新人教A版选修4-1.pptVIP

第一节　平行线截割定理与直角三角形的射影定理 1．平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段_______，那么在其他直线上截得的线段也______． (2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______第三边． (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_______另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的_________成比例． (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_________． 3．相似三角形的判定 定理1：两角对应______，两三角形相似． 定理2：两边对应_______且夹角____，两三角形相似． 定理3：三边对应________，两三角形相似． 4．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 ____________在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与______的比例中项． 相似三角形内切圆的半径比等于相似比的平方吗？ 图1 1．(人教A版教材习题改编)如图1所示，F为?ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC、AC于点G、E，EF＝16，则BE的长为________． 【答案】　8 图3 3．如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________． 图4 4．如图4，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________． 【思路点拨】　由平行四边形，得DC∥AE，BF∥AD，运用平行线分线段成比例定理及推论，经中间值代换求值． 平行线分线段成比例定理及推论一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理及推论将两条线段的比转化为另外两条线段的比． 【思路点拨】　根据相似三角形的判定定理和性质定理． 1．本题用到了“同弧所对的圆周角相等”，这一性质． 2．相似三角形的判定及性质的运用，是几何证明的基础，应用三角形相似既可推理证明，又可计算线段的比例与长度． 　如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AE·AB＝5，则AF·AC＝________． 【思路点拨】　由垂直条件，联想射影定理，进行线段的计算与证明． 【尝试解答】　∵AD⊥BC， ∴△ADB为直角三角形， 又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB. 同理在Rt△ADC中，AD2＝AF·AC， 又AE·AB＝5， ∴AF·AC＝AE·AB＝5. 【答案】　5 1．应用射影定理有两个前提条件：(1)是直角三角形；(2)是斜边上的高线． 2．直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用，在直角三角形中，灵活利用射影定理，可简化某些命题的证明和线段的计算，研究相关的相似与比例式问题． (2013·惠州调研)如图10，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高，∠DAB＝∠DBA，AB＝18，BE＝12，则CE＝________． 【解析】　∵∠DAB＝∠DBA， ∴AD＝BD，又AD是中线，∴BD＝DC，∠C＝∠DAC， 从而∠BAC＝90°，又AE⊥BC，由射影定理得 AB2＝BE·BC，∴BC＝27，因此CE＝BC－BE＝15. 【答案】　15 平行线分线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键． 1.防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应； 2．防止应用射影定理时，线段的位置记错． 判定三角形相似有三种常用的方法： (1)两组对应角分别相等，两三角形相似； (2)一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似． (3)三边对应成比例，两三角形相似． 从近两年新课标选考内容来看，射影定理、三角形相似的判定与性质是高考的常考内容，常与圆的有关知识结合命题，难度中等偏低，在应用三角形相似的性质时，应注意对应线段的选择，防止出错． 易错辨析之二十　忽视相似三角形中对应边成比例致误 图11 (2013·湛江调研)如图11，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝10 cm，腰AC上的高BE＝12 cm.则AB∶BD＝________． (2)在求比值时，一般要根据所求把已知进行合理转化，根据线段相等进行转化是常用的方法． 图12 1．(2013·肇庆质检)如图12，△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC＝10，AE＝4，那么BC＝________． 图13 2．(2013·佛山模拟)如图13，已知Rt△ABC的两