奇异值分解及应用精要.ppt

引理1 证明 设?是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则 AHAx= ?x 由于AHA为Hermite 矩阵，故?是实数。又 引理2 证明 设x是方程组AHAx=0的非0解， 对于Hermite 矩阵AHA， AAH，设 AHA， AAH有r个非0特征值，分别记为 奇异值的定义 推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量， V的列向量为AHA的特征向量. 1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V; 奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解 1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U; 例 求矩阵A的奇异值分解 * * 定理：设 则存在 使得 右式称为矩阵A的等价标准型 酉等价：设 若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵 V，使得 则称A与B酉等价。 矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。 第一节 奇异值分解 同理可证AAH的特征值也是非负实数。 则由 得 即： AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为 说明：A的正奇异值个数等于 ，并且A与AH有相同的奇异值。 定理 酉等价的矩阵有相同的奇异值 由 奇异值分解定理 设A是秩为 的 则存在 阶酉矩阵 矩阵, 与 阶酉矩阵 使得 其中 为矩阵A的全部奇异值. ① 证明 设矩阵 的特征值为 则存在n阶酉矩阵 ，使得 将 分块为 其中 ， 分别是 的前 r 列与后 列. ② 并改写②式为 则有 由③的第一式可得 ③ 由③的第二式可得 令 ，则 ，即 的r个列是两两正交的 单位向量.记 因此可将 扩充成标准正交基，记 增添的向量为 ，并构造矩阵 则 是m阶正交矩阵,且有 于是可得 称上式为矩阵A的奇异值分解. 5] 构造奇异值分解 4]扩充U1为酉矩阵U=(U1 ,U2) 3]令 2]记 奇异值分解方法1—利用矩阵AHA求解 例1、求矩阵 的奇异值分解 可求得 的特征值为 对应的特征向量依次为 于是可得： 令 其中 计算： 构造： 则 的奇异值分解为 4]扩充V1为酉矩阵V=(V1 ,V2) 5] 构造奇异值分解 2]记 3]令 利用矩阵AAH求解 *