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第三章 地图的数学基础 第三章 地图数学基础 §1、地图比例尺 §2、地图投影基本概述 §3、常用地图投影 §4、地形图上常用的投影 §5、地图分幅编号与方位 §1、地图比例尺 一、地图比例尺的含义 编制地图时，需要把地球或制图区域按照一定的比率缩小表示，这种缩小的比率就是地图的比例尺。因此，比例尺代表的是地球或制图区域缩小的程度。 计算时：地图上某一线段长度与地面相应水平线段长度之比。 即比例尺=图上距离/实地距离 可表达为： （d为图上距离，D为实地距离） 用此公式可以进行图上与实地的长度和面积的量算。 二、地图比例尺的分类 （一）按地图投影变形分类 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。地图上标注的通常为主比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。 （二）按大小分类 工程上的分类：大、中比例尺 测绘和地图学上的分类：大、中、小三种。 三、比例尺的表示 ① 数字式比例尺 如 1:10000 ② 文字式比例尺 如 百万分之一、1cm相当于图上100m ③ 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 四、地图比例尺的作用 §2、地图投影基本概述 一、地图投影定义 地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。 地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为： X=f1(λ , φ ) Y=f2(λ , φ ) 地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。 二、地图投影的基本方法 数学解析法：在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。 几何透视法：在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。 三、地图投影的变形 1、地图投影变形的概念 地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状 ： 地球仪上的经纬线的长度的特点： 地球仪上的经纬线网格面积的特点： 在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆的比较，说明变形的性质和大小。椭圆半径与小圆半径之比，可说明长度变形。很显然，长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。这两个方向是相互垂直的，称为主方向。椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形。椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。 特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向. 3、长度比和长度变形 长度比 μ 是投影面上一微小线段ds’和椭球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为： 由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形Vμ就是（ds’-ds）与ds之比，即长度比与1之差，用公式表示为： 5、角度变形 角度变形：投影面上任意两方向线夹角与球面上相应两方向线夹角之差。以ω表示角度最大变形。 主比例尺和长度比的区别 地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。 长度比是局部长度比例，应用它可求出局部比例尺 四、地图投影分类 （一）、重要概念 1、投影中心（标准点）：投影面上没有变形的点，通常是投影面与地球椭球体面相切的点。 2、标准纬线：投影面上没有变形的纬线，通常是投影面与地球椭球体面相切（一条）或相割（两条）的纬线。 3、中央经线：在投影面上投影为直线，位于图幅中央且没有变形的经线。 4、等变形线：变形值相等各点的连线。在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。它是根据计算的各