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信号与线性系统－第9讲 信号与线性系统 第 9 讲 教材位置: 第5章 连续时间系统的复频域分析 §5.1-§5.3 内容概要: 引言、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换收敛区 * 信号与线性系统－第9讲 * 开讲前言－前讲回顾 信号通过线性系统的频域分析 信号变换-建立系统函数-频域响应-时域响应 系统函数建立:相量法、冲激响应变换法 理想低通滤波器阶跃响应 响应建立时间与通频带成反比 因果系统的条件 系统函数不能在有限频带为0 衰减速度限制在指数衰减内 线性不失真系统 幅频特性：常数 相频特性：过原点直线 关于作业 3.8 简单的处理，后续相邻1/4周期为0 4.3 信号分解为基函数的组合（变换） 各谐波分量的大小-三角级数的系数，直流分量不要丢失 系统函数对各谐波的作用（物理概念）：90°相移，余弦变正弦 傅里叶变换积分性质的应用注意事项 时域微分将会丢失直流分量 对微分后函数的傅里叶变换采用积分性质求原函数傅里叶变换，需要考虑直流分量的傅里叶变换项 教材P142举例 3.15 信号傅里叶变换不存在的分析理解 狄利赫莱条件的充分（非必要）性的理解 * 信号与线性系统－第9讲 * * 信号与线性系统－第9讲 * 开讲前言－本讲导入 由傅里叶变换引出的话题 傅里叶变换是物理意义明确的信号分解方法； 傅里叶变换拓展了信号分析的范围； 傅里叶变换对信号的数学要求严格，应用的适应性受到限制； 傅里叶变换的数学计算比较麻烦，积分运算为主，非代数运算； 傅里叶变换只能用于确定零状态响应； 希望把傅里叶变换进行扩充、变通 降低对变换信号的数学要求； 简化计算，最好只要代数解法就能胜任； 这就是学习拉普拉斯变换的目的。 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.1引言 1、拉普拉斯变换与傅里叶变换差别 频域 jω 变换到 复频域 s＝σ＋jω 基本变换单元由虚幂指数函数ejωt 或cosωt，变换到复幂指数函数est 或eσt cosωt， 由于基本变换单元是一个非等幅的正弦信号，对不同的信号形式（指数幂次情况不同），采用不同的指数实部作为基本变换单元，就能达到变换收敛的目的。 实部的取值范围就是变换的收敛区所在。 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.1引言 2、拉普拉斯变换的特点 收敛区域需要专门提出来考虑； 基本信号的变换计算简单，常用信号的变换可以方便推导，反变换可以只通过代数运算得到，没有微积分运算； 初始条件自动计入，不用单独考虑零输入响应，全解一次求得； 利用拉普拉斯变换进行系统函数的分析，都有数学手段将它们转化为简单的代数运算进行。 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 1、傅里叶变换到拉普拉斯变换的思路 傅里叶变换不存在的原因，是函数不可积 信号的衰减不够，导致时域内积分不收敛。 简单直观的想法－将信号在时域强制衰减 乘一个幂指数形式的衰减因子，再做傅里叶变换； 反变换过程中需要消除这个衰减因子的影响； 据此进行傅里叶变换的改造－拉普拉斯变换 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 2、拉普拉斯变换推导 原函数f(t)不可积 改造后可积 收敛因子e-σt 可积条件σβ 改造后傅里叶变换 f (t) e ? t 1 e -? t 0 t e ? t f (t) = 1 t 0 t 0 e (?-? ) t ? (t) e -? t 1 f (t) e -? t 0 t f (t) e -? t = e -? t t 0 e (?-? ) t t 0 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 变换可以表示为 ? + j ? 的函数 F(? + j? ) 的傅氏反变换 f(t)的表达式为： 拉普拉斯变换定义 令 s = ? + j? 并称之为复频率 有 ds = jd?, 当? = ? ? 时, s = ? ?j ? f (t) e -? t =F -1[ F(? + j ? )] 得到双边拉普拉斯变换或广义傅氏变换 * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 3、拉普拉斯变换标记 设：f (t) ----- 原函数 ， Fd(s)-----双边拉普拉斯变换， 标记为 Fd(s) = Ld {f(t)} f(t) = Ld-1{Fd(s)} * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 4、单边拉普拉斯变换 若 t 0 时，有f (t) = 0 或只考虑信号 t ? 0 部分， 变换关系式变为 称为单边拉普拉斯变换 单边仅仅关于时域 标记为 F (s) = L {f(t)} f(t) = L -1{F(s)} * 信号与线性系统－第9讲 * §5.2拉普拉斯变换 5、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本差别 f