江苏省八校2015-2016年度高二下学期期中联考数学试题附解析.docVIP

2015—2016学年第二学期高二数学期中试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上． 1.设复数z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），若zi＝1－2i，则a＋b＝ ． －3 2.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在x不小于55的概率为 ． ． 12.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ． 13.已知圆C：，点在直线上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使，则的取值范围是 ． 14.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分) 已知z∈C ，和都是实数． (１）求复数； (２）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（１）设 a，b∈R， 则， ， ∵和都是实数， ∴，解得， ∴． ……………………………… 7分 (２）由（１）知， ∴， ∵在复平面上对应的点在第四象限， ∴， 即，∴， ∴，即实数的取值范围是． …………………………… 14分 16．（本小题满分14分） 在直三棱柱ABC ? A1B1C1中，AB ? AC ? AA1 ? 3a， BC ? 2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点， 且AE ? CF ? 2a． （1）求证：B1F⊥平面ADF； （2）求证：BE∥平面ADF． 【答案】（1）证明：∵AB ? AC，D为BC中点，∴AD⊥BC． 在直三棱柱ABC ? A1B1C1中， ∵B1B⊥底面ABC，AD底面ABC，∴AD⊥B1B． ∵BCB1B ? B，∴AD⊥平面B1BCC1． ∵B1F平面B1BCC1，∴AD⊥B1F． 在矩形B1BCC1中，∵C1F ? CD ? a，B1C1 ? CF ? 2a， ∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1． ∴?CFD ? ?C1B1F．∴?B1FD ? 90°．∴B1F⊥FD． ∵ADFD ? D，∴B1F⊥平面AFD．………………… 7分 （2）连EF，EC，设，连， ，∴四边形AEFC为矩形，为中点． 为中点，． 平面，平面， 平面…………………………… 14分 17．（本小题满分15分） 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶 图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1）求和的值； (2）计算甲班7位学生成绩的方差； (3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 【答案】 (1）∵甲班学生的平均分是85， ∴. ∴. …………………3分 ∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴.………………… 5分 (2）甲班7位学生成绩的方差为 .………………… 9分 (3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况： . …………………11分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况： . ………………… 13分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……… 15分 18.（本小题满分15分） 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为． (1）求直线与圆相切的概率； （2）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． 【答案】(1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． ∵直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是 即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝ ∴满足条件的情况