第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法6.pptVIP

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2017-03-29 发布于四川
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第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法6.ppt

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第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法6

第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法 §8.1 乘幂法 §8.2 反幂法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ※ 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。引言 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §8.1 乘幂法乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。定理8·1 设矩阵有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,…,n），其对应的特征值 λi(i =1,2,…,n)满足|λ1||λ2|≧…≧|λn| 则对任何n维非零初始向量Z0, 构造Zk = AZk-1(k=1,2,…) 有（8·1）其中(Zk)j表示向量Zk的第j个分量。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明：只就λi是实数的情况证明如下。因为A有n个线性无关的特征向量所以任何非零向量都可用线性表示,即用A构造向量序列{ }其中 (8.2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将（8.3）与（8.4）所得Zk及Zk-1的第j个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi||λ1|(i=1,2,…,n)得证毕 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理8·1的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法： 1)先任取一非零向量Z0,一般可取 Z0=(1,1,1)T； 2)按（8.2）式计算； 3)当K足够大时,即可求出,为了减少对于所选的第j个分量的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替,即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 关于对应于λ1的特征向量的计算：由（8.1）知，当k充分大时，Zk = Zk-1，又由迭代式Zk = AZk-1，可知AZk-1= Zk-1故由特征值定义知Zk-1即为对应的特征向量，或Zk = Zk-1为对应的特征向量。这种求矩阵