化学试验设计法中的回归分析.pptVIP

第六章 化学试验设计法中的回归分析 * 变量之间的各种关系是客观世界中普遍存在的关系。这些关系大致分为两类: 1) 确定性关系，可用精确的函数表达的关系； 譬如球体积V＝pd3/6 。 2）非确定性关系，通常称为相关关系 。 譬如产品合成中收率与反应温度、搅拌速度等的关系；反应速率与温度、压力、催化剂加入量等的关系；农作物产量与降雨量、施肥量、农药量等的关系。 我们在工作中碰到的问题大都是这种相关关系的问题。 那么如何在这些关系不确定的变量之间找到一些内在的规律，从而为科学研究做出一定的预测？ 譬如在我们的化学试验中，如何才能从有限的试验数据中找出一定的规律，从而为获得指标最优化做出正确地判断？ 通常，回归分析（Regression Analysis）是试验数据处理中最常用的一种方法，也是比较好的一种方法。 所谓回归分析，其实就是研究相关关系的一种数学工具，它能提供变量之间关系的一种近似表达，即回归方程，根据回归方程作图，就可以得到对各数据点误差最小，因而也是最好的一条曲线，即回归曲线。 回归方程可用来达到预测和控制的目的。 回归分析分类： 按自变量的数目分类： 一元回归： 多元回归： 一个因变量和一个自变量 （YX） 一个因变量和多个自变量（≥2）(YX1、X2…) 按回归关系分类： 线性回归和非线性回归。 这两种分类方式相互交叉，可以产生常见的四种回归模式：一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归，多元非线性回归。 6．2 一元线性回归 假设用（xi，yi）表示一组数据点（i＝1，2，…，n）。 请问一下：这些数据点代表什么样的试验设计方案？ 是不是代表单因素试验设计？ 任意一条直线的函数关系可表示为： y*=a+bx (1) 如果用这条直线代表（xi，yi）里x和y的关系，则每个点的误差为： yi-y*=yi-a-bxi (2) （3） 若各数据点的差方和为Qi*，则总的差方和Q*为： 一元线性回归就是指在所有的直线中，使差方和Q*最小的一条直线。 即回归直线的系数b和截距a应使Q*达到最小值。即： Q*（a,b)=minQ*(a,b) 那么怎样的a、b值才能使Q*最小呢？ （3）式分别对a、b求偏微分，并使之等于零： （4） （5） （4）式和(5)式经转换分别可得： (6) (7) （6）、（7）式构成一个二元一次方程组，因此肯定有唯一解。这就是一元线性回归的基础。 经过一系列推导，最终： 其中： （8） （9） 上面所讲的就是确定一元回归方程所根据的原则。 即应使回归方程与所有观测数值的差方和达到极小值。 因为平方运算也称为“二乘”运算，因此这种回归方法就通称为“最小二乘法”。 最小二乘法就是最小差方和法。 事实上，现在计算机线性拟和（如excel、origin等）就是依据的上述（8）、（9）式，实际工作中根本不需要大家计算。但是我们应该知道这个原理。 当然，大家也可以自己写一个小程序进行这些工作。 如何判断一元线性回归方程是否有意义？ 在数学上有一个非常重要的判别方法，就是相关系数法。即我们经常求的R值法。 （10） 或者： （10）’ 这里sx、sy为x和y的标准偏差。 关于R的说明： R＝1，说明没有试验误差； R＝0说明回归线与x轴平行，y与x没有线性相关。0R1，有相关性。 其中R愈接近1，相关性越强。 一般只有当R大于某个临界值时，y与x的线性关系才是显著相关，回归才有意义。 R的临界值与样本个数、显著性水平都有关系。一般的，R最起码应大于0.95。 一元线性回归在单因素法中有很重要的应用。 6．3 一元非线性回归 在很多实际的工作中，我们碰到的y-x按线性回归时，相关系数很差，意味着y-x不是一个线性关系。这时需要考虑非线性回归。 自变量只有一个时，就是一元非线性回归。 在一些情况下，一元非线性回归经过适当的变换，可以转化为线性回归问题。 具体做法是： (1)??? 根据样本数据，先作出散点图； (2)??? 根据散点图推测y－x之间的函数关系； (3)??? 选择适当的变换，使之变成线性关系； (4)??? 用线性回归方法求出线性回归方程； (5) 最后返回原来的函数关系，得到要求的回归方程。 如： 1.双曲线 可令 ； 2.抛物线 可令 ； 3.幂函数 可令 ； 4.指数函数 可令 ； 5. S型函数 可令 ；等等 事实上，我们在很多情况下对数学曲线的类型了解的并没有这么深入，这个时候就主要靠对各种函数进行试验，然后看相关系数是否接近于1来判断拟和的函数是否有用 。 例题13. 发光半