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2017-03-29 发布于上海
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54实对称矩阵的相似矩阵

第四节实对称矩阵的相似矩阵一、实对称矩阵特征值的性质二、实对称矩阵的相似理论三、实对称矩阵对角化的方法第四节教学要求 1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明一、实对称矩阵特征值的性质　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是有两式相减，得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1的意义 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明于是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、实对称矩阵的相似理论定理4 任意实对称矩阵都与对角矩阵相似。它们的重数依次为其中证明：设的互不相等的特征值为由定理3，对应于特征值又由定理2及知，有个线性无关的特征向量，恰有个线性无关的特征向量，从而与对角矩阵相似。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理5 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 三. 实对称矩阵对角化的方法其中对角矩阵的主对角元的排列顺序与中列向量的排列顺序相对应. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵. (1)第一步求的特征值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解之得基础解系解之得基础解系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解之得基础解系第三步