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第 3 5 卷第 6 期 黄 冈 师 范 学 院 学 报 Vo .35 No.6 20 5 年 2 月 Journa of Huanggang Norma Un vers ty Dec.20 5 若干关于调和数的等式 申玲玲,郜静霞 (重庆师范大学 数学科学学院,重庆 40 3 3 ) 摘 要 本文利用发生函数理论的方法得到一个新的关于调和数的等式,此等式还包含贝尔多项式,其中定 义的 H n (m)是关于m 和n 的调和数,利用这个等式并用自然的方法可以得到一系列等式。 关键词 调和数;贝尔多项式;等式 中图分类号 O 文献标志码 A 文章编号 003-8078(20 5)06-00 9-04 收稿日期 20 4- 2-28 doi 0.39 6 9/j.ssn.003-8078.20 5.06.05 作者简介 申玲玲,女,河南安阳人,在读硕士研究生,主要研究方向为基础数学。 Some equations involving harmonic numbers SHEN Ling-ling,GAO Jing-xia (Schoo of Mathemat cs Sc ences,Chongq ng Norma Un vers ty,Chongq ng 40 3 3 ,Ch na) Abstract In th s paper we get a new dent ty nvo v ng harmon c numbers by means of occurr ng funct ons,th s equat on nc udes Be po ynom a .Let H n(m)denote the m,n harmon c number.These dent t es are genera zed n a natura way by means of genera zed funct ons. Key words harmon c numbers;Be po ynom a ;equat ons 关于调和数 H T)n (m)本文定义: H T)n (m)= ∑n k = ,k≠m 1 (m -k)r 关于贝尔多项式Y n Y n(x ,x 2,…,x n)有: exp(∑ n≥ x n t n n ! )=∑n≥0Y n(x ,x 2,…,x n) t n n ! (1) 在 Riordan[ 中就给出了一些相反的数对,本文就用到其中一个: a n =∑n k =0 p +k k ? è ? ? ? ÷b n-k;则 b n =∑n k =0 (-1)k p + 1 k ? è ? ? ? ÷a n-k 1 一个新等式 在文献[2]中 Zave 给了一个等式及证明,参照该方法将m 的范围扩大得到了一个新的等式。 定理 1.1 若m∈R 且m?{1,2,3,…},r∈N,那么 (1-z)m- (ln 11-z) r =∑∞ k =0 Y r[…,-(r - 1)! H r)k (m)]k -mk ? è ? ? ? ÷ z k (2) 证明 利用发生函数理论和泰勒展开式有: ∑∞ r=0 (1-z)m-(ln 11-z) r y r r ! = (1-z)m-∑ ∞ r=0 (ln 11-z) r y r r ! = (1-z)m-y- =∑∞ k=0 m-y -1 k ? è ? ? ? ÷(-z)k =∑∞ k=0 k -m+y k ? è ? ? ? ÷ z k =∑∞ k=0 (k -m+y)k k ! z k 黄 冈 师 范 学 院 学 报 第 3 5 卷 =∑∞ k=0 (k -m+y)k(k -m)k(k -m)kk ! z k =∑∞ k=0 ∏ k j = ,j≠m (1+ yj -m) é ? êê ù ? úú k -m k ? è ? ? ? ÷ z k ∏k j = ,j ≠m 1+ yj -m ? è ? ? ? ÷= ∏k j = ,j ≠m 1- ym -j ? è ? ? ? ÷=exp ∑k j = ,j ≠m ln(1- ym -j ) é ? êê ù ? úú =exp ∑k j = ,j ≠m∑ ∞ r= -y r r(m -j )r é ? êê ù ? úú=exp ∑∞ r= -y r r H r) k mé? êê ù ? úú =∑∞ r=0 Y r[…,-(r - 1)! H r)k (m)]y r r ! 当m =(0,-1,-2,-3,…)可以得到定理 1.1[3 。 若 n,p,q,u,v ∈N,那么∑n-q k =p k p ? è ? ? ? ÷ n -k q ? è ? ? ? ÷P(u,k,p)P(v,n -k,q)