同济第三版-高数-(7.2) 第二节 点的坐标与向量坐标精要.ppt

例: 设点 A 位于第 I 卦限，向经 与 x 轴, y 轴的夹角 依次为 ? /3 ,? /4，且 ，求点 A 的坐标。 由本例条件，求点 A 可考虑求向经 由于已知 需求出 的单位向量。 由于已知 与两坐标轴 的夹角，故只需求出 三个方向余弦。 通过向经坐标求点的坐标 由于已知 ? = ? /3 , ? = ? /4，故由关系式 cos 2? + cos 2? + cos 2? = 1 可求得 由于点 A 位于第 I 卦限，故 cos? 0 ， 因此求得 即点 A 的坐标为 为将向量转化为数组讨论需先将一般空间向量转化 为轴上的向量。 在直角坐标系中，向量转化为轴上向量是通过向量 的正交分解来实现的，而向量的正交分解实际是通过投 影来完成的。 为作向量的投影，需先考虑 点在轴上的投影。 设已知空间一点 M 及一轴 u ，过点 M 作垂直于 u 轴的平面 ? ，平面 ? 与轴 u 的交点 M ? 叫做点 M 在轴 u 上的投影，平面 ? 叫做点 M 向 u 轴投影的投影平面。 (1) 空间一点在轴上的投影 设点 O 及单位向量 确定 u 轴 ，任给向量 ，作 ，再过点 M 作垂直于 u 轴的平面 ? 交 u 轴于点 M ?，则向量 称为向量 在轴 u 上的分量。 设 ，则数 ? 称 为向量 在轴 u 上的投影， 记作： (2) 向量在轴上的投影 (3) 向量在轴上的投影与向量的坐标 由向量在轴上投影的定义，对于给定向量 若在直角坐标系中有正交分解式 则 分别就是向量 在 x 轴， y 轴，z 轴上的分量，而向量 在三坐标轴上的投影 就是它在三坐标轴上的坐标， (4) 向量在轴上的投影的性质 向量 在轴 u 上的投影等于向量 的模乘以轴 u 与 的夹角??的余弦，即 性质1 投影定理 C. P. U. Math. Dept · 杨访 性质 2 向量和的投影 两向量的和在轴上的投影等于两向量在轴上的投影 的和，即 性质 3 向量与数的乘积的投影 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投 影与数的乘积，即 * 为能够用代数的方法研究几何问题，首先 需要建立点和数之间的对应关系，为建立这种 对应关系就需要建立相应的坐标系。 几何图形和数量形式的转化实际就是通过 点的坐标和向量的坐标来实现的的。 为利用代数方法研究几何图形，需先建立点和数之 间的对应关系，这就是坐标系的概念。 直角坐标系是最基本的坐标系，空间直角坐标系是 平面直角坐标系的推广。它既符合人们的视觉习惯，又 具有运算的简洁性。 有了坐标系，直线上的点可对 应于一个数，平面上的点通常对应 于一个二元数组，空间的点一般对 应于一个三元数组。 在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 ，就确定了三条都以 O 点为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称坐标轴。 它们构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系 坐标系。 通常把 x 、 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂 线，它们的正向符合右手规则。 (1) 空间直角坐标系的建立 原点 横轴 竖轴 纵轴 x,y,z 轴构成右手系 (2) 相关的概念和名称 坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面称为坐标面。 三个坐标面把空间分为八个部分， 每一部分叫做一个卦限。 卦限 Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅷ Ⅰ Ⅴ (3) 一些特殊点的代数特征 坐标面上的点 xOy 平面上的点满足 z = 0 ，其坐标为( x ,y ,0 )； yOz 平面上的点满足 x = 0 ，其坐标为( 0 ,y ,z )； xOz 平面上的点满足 y = 0 ，其坐标为( x ,0 ,z ). x 轴上的点满足 y = z = 0 ，其坐标为( x ,0 ,0 )； y 轴上的点满足 x = z = 0