部分习题解黎永锦《泛函分析讲义》的Word文档.docVIP

部分习题解答 好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考 并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中 L. Bers（贝尔斯） （1914-1993,美国数学家） 习题一 1.2 设,对任意,, , 试证明和为上的两个度量,且存在序列,,使得,但不收敛于0. 1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量和为 上的两个度量. （2）取 当时, , 当时,则且,但.因此,但不收敛于0. 1.4 试找出一个度量空间,在中有两点,但不存在,使得. 1.4 证明：在上取离散度量,则对于,有,但不存在,使得. 1.6 在中,设为的非空子集,为开集,试证明为开集. 1.6证明：由可知,对任意,有,若G是开集,则对于任意,有开球. 故,因而,从而对任意是开集,由 可知是开集. 1.8 在中,设只有限个不为0},试证明不是紧集. 1.8证明：取,当时,当时, ,则,且 ,这里 ,但,因此M不是闭集,所以不是紧集. 1.10 设为度量空间,,试证明. 1.10证明：对于任意,有,故,因而,从而. 对于任意,有,因而存在,故,从而,故.所以,. 1.12 设为度量空间,,试证明为到 的连续算子. 1.12 证明：对于任意,有. 故 类似地,有 因此 所以,时,必有,即是连续函数. 1.14 设为度量空间,为闭集,试证明存在可列个开集,使. 1.14 证明：由于F是闭集,因此,又因为是连续的,所以对任意是开集,从而对于开集,有，所以. 1.16 试证明是完备的度量空间. 1.16证明：设为 的列,则对于任意,存在 N,使得时有.故对每个固定的i,有 . 因此是列.因而存在,使得,令,则由可知 故 　　由于,因此存在常数使得. 又由可知对任意i及成立. 故 所以,,即是完备的度量空间. 1.18 证明中的有界闭集不一定是紧集. 1.18 证明：令,则M是的有界闭集,但M是不紧集. 1.20 设,试证明为度量空间,但不是完备的. 1.20证明：容易验证是的度量. 取,,则为的列，但没有极限点，因此不是收敛列，所以不是完备的. 1.22 试证明度量空间上的实值函数是连续的当且仅当对于任意,和都是的闭集. 1.22证明: 若度量空间上的函数是连续的,则明显地,对于任意,和都是的闭集. 如果对于任意,和都是的闭集,则于任意,容易知道是开集, 对于R上的开集,有的构成区间,使得,因而是开集,所以f是连续的. 1.24 设R为实数全体,试在R上构造算子,使得对任意,,都有 ,但没有不动点. 1.24证明：(1) 设R为实数全体, 则对任意,由可知 但f(x)没有不动点.实际上,若 ,则,因而矛盾. (2) 设 则对任意,由可知 但f(x)没有不动点.实际上,若,则,矛盾,所以f(x)没有不动点. 1.25 设函数在上连续,处处都有偏导数,且满足 试证明在上有唯一的连续解. 提示：定义:为 证明为压缩算子,然后利用S. Banach 不动点定理. 1.26 设为度量空间,为到的算子,若对任意,,都有 ,且有不动点,试证明的不点是唯一的. 1.26证明：反证法,假设A有两个不动点,使得,则 但这与矛盾,所以A只有唯一的不动点. 1.27 设为度量空间,且为紧集,为到的算子,且时,有,试证明一定有唯一的不动点. 证明思路：构造上的连续泛函,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在,使得,就是的不动点. 1.28 试构造一个算子,使得不是压缩算子,但是压缩算子. 1.28证明：定义,则不是压缩算子,但是压缩算子. 1.30 设,,试证明是压缩算子. 1.30证明：由 ,可知 ,所以是压缩算子. 习题二 2.2 设为赋范线性空间,为上的范数,定义 试证明为度量空间,且不存在上的范数,使得. 2.2证明：由度量的定义可知是X上的度量. 假设存在X上的范数,使得,则对于,一定有. 如果取,则 , 但是,因此不成立,所以一定不存在X上的范数,使得. 2.4设是赋范空间的线性子空间,若是的开集,证明. 2.4证明：由于M是线性子空间,因此.由M是开集可知存在.因而对于任意,有,从而,因为M是线性子空间,所以,即. 2.6设是赋范线性空间,若且,试证明. 2.6证明：由可知存在,使得,故 所以,. 2.10 在中,若是中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明是的线性子空间,但不是闭的. 2.10证明：明显地M是线性子空间,取,则 且,但,所以M不是闭的子空间. 2.12 设,满足对任意成立，若在上连续,试证明是线性的. 2.12证明：由可知,对所有正整数都成立.并且 ,故对所有正整数都成立.因此所有正有理数都有成立