连续函数的运算初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质.docVIP

1.8连续函数的运算、初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 1.8.1 连续函数的和、差、积及商的连续性 定理1.17 若函数、都在点连续，则函数 都在点处连续. 证 只证商的情形.设，则由商的极限运算法及函数在点处的连续性得 故由连续函数的定义得，函数在点处连续. 1.8.2 反函数与复合函数的连续性 定理1.18 若函数在区间上严格单调且连续，则其反函数在对应区间上也是严格单调且连续的. 证 （略） 定理1.19 设函数由函数与复合而成， 若而函数在点处连续，则复合函数在点处存在极限，且 证 （略） 例1—8—2 求 解 函数是由函数与复合而成的.因故当时，于是 定理 1.20 设函数由函数与函数复合而成，若函数在点处连续，,函数在点处连续，，则复合函数在点处也连续. 如：函数的内是连续的. 定理1.21 基本初等函数在其定义域内是连续的. 定理1.22 初等函数在其定义域内是连续的. 1.8.3 闭区间上连续函数的基本性质 定理1.23（最大值、最小值定理） 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值. 定理1.24 （介值定理）若在闭区间上连续，且，则对于与之间的任一个数，至少存在一点，使得 推论1（零点定理） 若函数在区间上连续，且，则在区间内至少存在一点使得 推论2 闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值间的一切值. 证 设在闭区间的最大值和最小值分别为，则存在使得，由介值定理得，可取间的一切值. 例1—8—3 证明方程在区间内至少有一个根. 证 因在区间连续，且，故由零点定理得，在区间内至少有一个根. 作业 3.（2） 4. 43