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第六章习题 （一） 1．求下列函数 在指定点的留数。 （1） 在 . （2）在 （3）在. （4）在. （5）在. （6）在. 2．求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m是正整数）。 （1）. （2）. （3） （4）. 3．计算下列各积分： （1）； （2）； （3）； （4） . 4．求下列各积分之值： （1）； （2）； （3） （a为实数且）。 5．求下列各积分： （1）； （2）； （3）； （4）. 6．仿照例6.15的方法计算下列积分： （1）； （2）. 7．从出发，其中C是如图6.15所示之周线（沿正实宙取正值），证明 . 8．从出发，其中C是如图6.16所示的周线，证明： ，. 9．证明 . 提示：取辅助函数 . 10．证明方程 在单位圆内有n个根. 12．若在周线C内部除有一个一阶极点外解析，且连续到C，在C上. 证明 在C内部恰好有一个根. 提示：用辐角原理证明 13．若在周线C内部亚纯且连续到C，试证： （1）若时，||1，则方程＝1在C的内部根的个数，等于在C的内部的极点个数。 （2）若时，||1，则方程＝1在C的内部根的个数，等于在C的内部的零点个数。 14．设在C：内部解析，且连续到C，在C上. 求证：在C内部只有一个点，使. （二） 1.计算积分 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2.计算积分 ， 其中C为单位圆周. 3.设在| z |1内解析，在上连续，试证： ， 这里C是围绕原点的一条周线。 5.试证：含点的区域的留数定理（在例6.20中列出并引用过）。 6.试证： . 提示：考虑 ，其中 . 7. 设函数在 上解析，在上. 试证：在上， 的最大值至少等于在内的零点个数. 8. 设C是一条周线，且设 （1）符合定理6.9的条件为在C内部的不同的零点，其阶相应为为在C内部的不同的极点，其阶相应为]； （2）在闭域上解析。 则有（试证） （这是定理6.9的推广，时就是定理6.9）。 9. 设C是一条周线，且设 （1）、在C内部亚纯，且连续到C， （2）沿C，，则试证 . 注：这是儒歇定理的推广形式。为了给出它的一个应用，可参阅：“钟玉泉. 一个解析函数定理的推广，四川大学学报（自然科学版），1990（1）,86~87.” 10. 如果，试证方程 （n为正整数） 在圆内恰有n 个根。 11. 试证方程 在单位圆内恰有一个根。 提示：应用第二章习题（二）5. 12. 试证方程 在内只有一个根，且为实根。 13. 方程 在圆与在圆环内各有几个根？ 14. 应用儒歇定理证明例3.11. 15. 设D是周线C的内部，在闭域上解析。试证：在D内不可能存在一点使 16. 设（1）在点解析，； （2）以为n阶零点。 试证：对于充分小的，能确定，使对满足的a，函数在圆内恰有n个一阶零点. 5