讲连续函数性质与致连续性.docVIP

第8讲 闭区间上连续函数的整体性质闭区间上连续函数的整体性质 教学内容 1. 连续函数的局部性质 闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，.闭区间上连续函数的介值性定理，零点定理，.反函数的连续性，.函数的一致连续性． 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地理解闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，熟练地应用零点定理讨论方程根地问题；对较好学要求他们能理解函数的一致连续性 教学重点及难点 教学重点：零点定理函数的一致连续性函数的一致连续性 教学方法及教材处理提示 (1) 虽然闭区间上连续函数的整体性质（最大最小值定理，有界性定理，介值性定理）不能作出证明，可以通过连续函数的直观图像来加以说明，帮助学生理解这些性质。 (2) 零点定理是一个重点内容且应用较广，除要给出完整的证明过程外，还要布置相应的练习题。 (3)? 本讲的难点是函数的一致连续性，在此对较好学生布置判别函数一致连续性的习题． 作业布置 作业内容：教材 :6，9，10，12，15，19. 讲授内容 一 、连续函数的局部性质 定理4.1(局部有界性) 若函数在点连续，则在某内有界． 定理4.2(局部保号性) 若函数在点连续，且 (或)，则对任何正数 (或)，存在某，使得对一切有，）. 注：应用局部保号性时，常取则（当时）存在某使在其内有. 二、闭区间上连续函数的基本性质 定义1 设为定义在数集上的函数．若存在，使得对一切有 ， 则称在上有最大(最小)值，并称为在上的最大(最小)值． 定理4.6 (最大、最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值． 推论 (有界性定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有界． 定理4.7 (介值性定理) 设函数在闭区间上连续，且．若为介于与之间的任何实数或)，则至少存在一点，使得 推论(根的存在定理) 若函数在闭区间上连续，且与异号(即)，则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根． 这个推论的几何解释如图4—3所示：若点与分别在轴的两侧，则连接、的连续曲线与轴至少有一个交点． 应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若在区间上连续且不是常量函数，则值域也是一个区间；特别，若为闭区间，在上的最大值为，最小值为，则； 例3 证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得称为的次正根(即算术根)，记作)． 证：先证存在性．由于当时有，故必存在正数，使得．因在上连续，并有，故由介值性定理，至少存在一点，使得． 再证唯一性．设正数使得，则有，由于第二个括号内的数为正，所以只能，即. 例4 设在上连续，满足．证明：存在，使得. 证：由条件意味着：对任何有，特别有 以及 ． 若或，则取或，从而式成立．现设与．令，则，．故由根的存在性定理，存在，使得，即 从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令)，可收到事半功倍的效果． 三、反函数的连续性 定理4.8 若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续． 例5 由于在区间上严格单调且连续，故其反函数在区间上连续． 同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如在上连续，在上连续等． 例6 由于(为正整数)在上严格单调且连续，故在上连续．又若把(为正整数)看作由与复合而成的函数，则在上连续． 综上可知，若为非零整数，则是其定义区间上的连续函数． 证明：有理幂函数在其定义区间上连续． 证：设有理数，这里为整数.因为与均在其定义区间上连续，所以复合函数也是其定义区间上的连续函数。 四、一致连续性 函数在区间上连续，是指在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性． 定义2 设为定义在区间上的函数．若对任给的，存在，使得对任何，只要：，就有，则称函数在区间上一致连续． 证明在上一致连续． 证： 任给，由于，故可选取，则对任何只要，就有．所以 在上一致连续． 例9 证明函数在内不一致连续(尽管它在内每一点都连续)． 证：按一致连续性的定义，为证函数在某区间上不一致连续，只须证明：存在某，对任何正数(不论多么小)，总存在两点，尽管，但有. 对于函数，可取，对无论多么小的正数，只要取与（图4-5），则虽有 ，但，所以在内不一致连续． 定理4.9 (一致连续性定理) 若函数在闭区间上连续，则在]上一致连续． 例10 设区间的右端点为，区间的左端点也为可分别为有限或无限区间)．试按一致连续性的定义证明：若分别在和上