讲评：《点集拓扑》半期复习.docVIP

半期复习 主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。 研究的思路与成果 1．预备知识： （1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A∪B、A∩B、A-B （2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？ f（A∪B）＝f（A）∪f（B） f（A∩B）f（A）∩f（B） 当f为单射时，取等号 f（A-B）f（A）－f（B） 当f为单射时，取等号 （3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？ 一句话：保持运算。即： （4） f满时取等号 f单时取等号 （5）等价关系、等价类的定义，作用 等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集。 （6）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。 2．拓扑空间 （1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。 （2）拓扑空间的定义（P51 def 2.2.1:满足三条性质） 拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集。 （3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进类似实数空间的性质。 定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。 （4）模仿高等代数，给出了基的概念。 （5）定义了序列及极限点。 思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻。 因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这种性质？与R中的相应性质有何区别？ 3．从拓扑空间构造新的拓扑空间 （1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。 （2）积空间及其基、子基的概念。 （3）商空间、商拓扑、商映射的定义 （4）投射、自然投射的一些性质（Th3.2.6; Th3.2.7; Th3.3.2,Th3.3.3） 二．常见证明方法 1．证明集合包含 相等 2．证明连续映射：反射开集、闭集、邻域 3．证明开集：定理2.3.1。在连续映射下，是否是开集的原象？开映射下，是否是开集的象？ 4．证明基：定义及定理2.6.2 5.证明凝聚点; 证明不是凝聚点: 证明闭包: 6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法. 7.常在一个集合关系式的两边同取f、、闭包等 8．常用反证法 U U U U