角形特殊点研究.docVIP

三角形特殊点研究 吴贤盛 摘要：本文对三角形的一些特殊点的关系进行了一定的归纳整理，并用超级画板具体画出了这些点的位置关系，并对部分结果进行了理论证明。 关键词：三角形特殊点、超级画板 引言 本文主要利用超级画板对三角形的一些特殊点进行探究，总结出了一些常见的结论，并指出了网上的一些错误结论，用超级画板直接画图验证，就否定了原命题，体现了信息技术的优势。 为了让读者能够较快地读懂本文，首先对文章中出现的一些比较陌生的概念进行说明。 界心：分为第一界心、第二界心。第一界心是指△ABC 中过顶点的分周线AD、B E、CF 相交一点,为第一界心过各边中点的分周线相交于一点,称为第二界心Bevan点在ABC中, 设JA、JB、JC分别为A、B、C的旁心则过JA、JB、JC分别作BC、CA、AB的垂线共点V称为ABC的Bevan点Gergonne点ABC 内切圆切三边于D、E、F , 则AD、B E、CF 相交于一点M ,这一点称为Gergonne 点三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆通常称这个圆为九点圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆Spieker点三角形ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，过D，E，F分别作此三角形内切圆切点三角形对应三边的垂线，它们交于一点称为Spieker点 （图一） 任作一圆，记圆心为O，作圆的内接△ABC，再作△ABC的内切圆，圆心为H，与△ABC的切点分别为D、E、F，作△DEF，再作其内切圆，圆心为G，用超级画板作图发现这三个圆心O、H、G在一条直线上。 探索二 —两条重要的共点直线 （图二） 其实熟悉平面几何的读者应该知道，对于一个三角形，有五个“心”是常见的，即重心、外心、垂心、内心、旁心，但除此之外三角形还有很多特殊的点，多达几千个，具体可参看网址：/ck6/encyclopedia/ETC.html#X3 仔细观察图二，发现外心、重心、垂心、九点圆圆心在同一条直线上，由于是欧拉发现的，故该线被称为欧拉线，同时Nagel点、第二界心重心、内心四点共线垂心与外心的中点而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半内心、垂心、Bevan点构成一个平行四边形外心是内心与Bevan点的中点三角形的第二界心,是其中点三角形的内心,是其中点三角形的中点三角形的第一界心Gergonne 点和为一对等距共轭点Spieker 圆Spieker 圆第一界心K、第二界心J重心G、内心I 四点共线,且J KKG∶GI = 3∶2∶1,该结论是在/thread-156-1-1.html上找到的，但其实是错误的，其作图如下，发现这四点不在一条直线上，且比例也不符合，所以在学习的时候不要盲目相信别人的结论，一定要做到检验。 （图三） 结论7、三角形内心和第一界心的中点为三角形中点三角形的内心，第二界心为三角形内心与第一界心的中点，红色部分的结论也是错误的,图形如下： （图四） 探索三 —七心连珠之错误 （图五） 参考网址： /topic_show.jsp?thesisid=494idileid 在该网站上，提到在△ABC两边上截取BD=CE，则ABC和ADE的外心、内心、重心、垂心、九点圆心、Spieker点、Nagel点的线均彼此平行！堪谓“七星连珠”。Nagel点线命题1、三角形的重心G，内心I和Nagel点N共线，且NG=2IG. 为证明上述命题，首先给出两个引理。 引理1 在ΔABC中，，D是BC的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。求证：IDAE. 证明 令BC=a,CA=b,AB=c，p=(a+b+c)/2，不妨设bc。 则BF=ac/(b+c) ，BE=p-c，CE=p-b。 于是有 DF=BD-BF=a/2-ac/(b+c)=a(b-c)/[2(b+c)] DE=BE-BD=p-c-a/2=(b-c)/2 所以得:DF/DE=a/(b+c). 又易证 IF/AI=a/(b+c). 因此得出 DF/DE=IF/AI. 故IDAE. 引理1证毕。 引理2 在ΔABC中，，D是BC的中点，K是CA的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。求证：AN=2ID. 证明 延长CI至M, 使得CI=IM，走AM，BM. 根据引理1得: