般可积函数的Parseval等式.docVIP

探索闭区间上一般可积函数的Parseval等式 一、探索上可积函数的三角多项式最小方差逼近 设为上的可积函数，，，为的傅里叶系数，记 ， （称为以为周期的三角多项式函数），则均方差，当 ，，（）， 时，达到最小，最小值为 。 提示：经简单地计算可得， ， ，。 于是， 二、按下面的步骤探索上可积函数的Parseval等式 1、设在上可积，且，则存在上的连续的折线函数列，使得， ，，且， 从而 。 提示：首先，利用可积的第二充要条件推出，对任意，存在的分割： ， 使得 。 其次，在中再插入分点，使得。记 ， 为分割增加分点所得的分割，则 ； 第三，先用直线段顺次连接函数的图像上对应于分割的分点，，，，的点，再用直线段连接点和，得连续的折线函数（如下图所示）， 易见满足： ，。 注意到 得出， 。 最后，注意到 得出 。 2、设为上的连续的折线函数，满足：，则存在三角多项式函数列，使得在上一致收敛于。 提示：利用Weierstrass三角多项式逼近定理即可。 3、设在上可积，且，则存在上的三角多项式函数列，使得， 。 提示：利用1可得，存在上满足： ，， 的连续的折线函数列，使得， 。 利用2可得，对每个，存在三角多项式函数，使得，在上， ， 再注意到 可得， 。 4、利用3并结合“一”可得：设在上可积，则 ， （称为关于上可积函数的Parseval等式）。 提示：利用3可得，存在上的三角多项式函数列，使得， 。 再注意到“一”， ， 即可。 5、设在上可积，试探索下面的等式： （称为关于上可积函数的Parseval等式），其中 ，， （）。 提示：令，则，在上可积。记，，（）为的傅里叶系数，利用4可得， 。 注意到， ， ， ， ， 即可。 6、利用5探索一般区间上可积函数的Parseval等式的形式。 提示：令，作平移变换，将函数变为上的可积函数 。 利用5可得， ， 其中 ，，。 注意到， ，， 可得， ， 其中 ， ， 。