高一春季课程第讲 正弦余弦定理及面积公式(教师版).docxVIP

正弦、余弦定理及其面积公式 一、要点归纳 1、余弦定理：； 2、正弦定理：，其中为的外接圆半径； 3、面积公式：. 为外接圆半径； ，其中为的内切圆半径，为半周长. 二、典型例题 例1、在中，，则（ ） A. B. C. D. 答案： 解析：依题意得,由正弦定理得， 得，故选 例2、在中，内角的对边分别是，若，， 则（ ） 答案： 解析：由可得，由余弦定理得 于是,故选 例3、在中，已知，则____________. 答案： 解析：由正弦定理易得结论. 例4、已知的内角及对边满足，求内角. 答案： 解析：由及正弦定理得， 即,从而, 即，又,故,, 所以 即. 例5、在中，已知求的面积. 答案：或 解析：要求，已知只需要求，根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以先求出的对角，使问题得到解决. 由正弦定理，得，因为，所以或 当时，，当时，，所以或 例6、在中，分别为内角的对边，且 （1）求的大小； （2）若，试判断的形状. 答案：,等腰钝角三角形 解析：（1）由已知，根据正弦定理得，即 由余弦定理得故,又,故 （2）由（1）得，又，得 因为，,故，所以是等腰的钝角三角形. 例7、已知圆内接四边形的边长分别为,求四边形的面积. 答案： 解析：解答本题有几点要弄清，（1）圆内接四边形的性质；（2）四边形的面积计算没有公式； 需要四边形进行分割或补形；（3）必须求三角形的一个角. 解法一：分割.连接，则 即， 解得所以, 所以. 解法二：补形，延长交于点，设，由于 所以， 即， 解得 在中，根据余弦定理得，从而 所以 点评：将多边形转化为三角形是解三角形的一重要手段. 例8、如图，在中，已知,是边上的一点，,,，求的长. 答案： 解析：在中，,由余弦定理得 , 所以,在中，, 由正弦定理得 ，所以 例9、已知的三边满足，，则边的对角的取值范围为___________________； 答案： 解析：依题意， 所以的取值范围为. 例10、已知的周长为，且，（1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 答案： 解析：（1）由题意及正弦定理，得， 两式相减，得； （2）,所以 三、同步练习 【基础】 1、在中，是的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 答案： 解析：在中，，因此选 2、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是（ ） 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 答案： 解析：由题可得：，从而 ,又因为 所以 所以一定是等腰三角形，故选 3、已知的三边长分别为且面积，则等于（ ） 答案： 解析：由 得 所以 4、如图，在中，若，则___________. 答案： 解析：由余弦定理得，，即， 解得或（舍去） 5、已知分别是的三个内角所对的边，若， 则___________ 答案： 解析：由及，得，由正弦定理得 得，由知,所以， 所以 6、在中，已知，，求. 答案： 解析：错解：由余弦定理得， 所以，由正弦定理得， 而,所以或者 辨析：由题意，所以，因此是不可能的，错因是没有认真审题，未利用隐含条件，在解题时要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致的分析问题，避免错误发生. 正解：同上，，因为 所以且 所以 7、在中，，，求的面积. 答案： 解析：因为 所以由正弦定理得 所以 8、如图，在中，已知，，求及. 答案：或者 或者 或 解析：由正弦定理得： 因为，即，所以或 当时， 当时 【巩固】 1、在中，角所对的边分别是若，则角的大小为____________. 答案： 解析：由得，即，因为，所以 又因为，所以在中，由正弦定理得： 解得，又，所以，所以 2、中，，，则的周长为（ ） 答案： 解析：由正弦定理得： 得， 故三角形的周长为： 所以选 3、在中，分别是角的对边，且 （1）求的度数； （2）若，求和的值. 答案：（1）（2）或 解析：由题意得 ，所以 所以 将，代入得，由 及，得或 4、在中，已知，求的面积. 答案： 解析：设的长分别为 由得，所以 又应用正弦定理得 所以 故 5、在不等边中，为最大边，如果，求的取值范围. 答案： 解析：错解：因为，所以，则 ，由于在上为减函数，且 所以,又因为为的内角，所以 原因：审题不细心，已知条件弱用，题设为最大边，而错解中把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误. 正解：由上面的解法可得： 又因为为最大边，所以,因此得的取值范围是. 6、某海轮以海里/小时的速度航行，在点测得海面上的油井在南偏东，向北航行分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，求间的距离. 答案： 解析：如图，在中， 由正弦定理，得：，即