武汉大学高等数学W D1_7续 连续函数运算.pptVIP

第七节（续） 一、连续函数的局部性质 二、连续函数的运算法则 定理6 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 例1 . 三、初等函数的连续性 例2. 求 例4. 求 方法2. 求 例5. 设 例6. 求 内容小结 思考与练习 讨论 备用题 二、连续函数的运算法则 三、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数性质 第一章 一、连续函数的局部性质 定理1（局部有界性） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 在 连续，则 在 的某邻域 有界． 定理2（局部保号性） Remarks 1. r 可选特殊值 2. 比较极限的相应性质 定理4 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理3 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理5 Remark 在定理5的条件下，求复合函数的极限时， 函数符号与极限符号可以交换次序。 例如, 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据连续性的定义，若f(x)是初等函数，且x0是 f(x)定义区间内的点， 则 Remark: 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 例3. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因为 故原式 说明: 对于幂指函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 则有 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 Remark: 若 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 1 (2000考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 作业 P66-67 A类 1 （2，5，6）； 2； 4（1，3，5） B类 1 （1，2）； 3 提示: “反之” 不成立 . 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷（Dirichlet）函数的连续性。 提示: 利用“函数极限与数列极限的关系” 来讨论。 取两个趋于x0的子列，分别趋于不同的极限。