概率论第一章(5,6).pptVIP

一、条件概率 引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。 设 A: 取到的球是白球。B:取到的球是木球。求：1）P(A); 2) P(AB) ; 3) 在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。 引例 在52张牌中，有放回地抽取两次，令：A = “第一次是◆” ; B = “第二次是K” 求： 强调几个概念 独立性和不相容性不要混淆（不影响与不相交）。 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率为： P(C)=0.005 若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 将近增加约21倍 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认. 称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因。 称 为后验概率，它是得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的原因Bi发生的可能性大小重新加以修正。 值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。 可见贝叶斯公式的影响 。 全概率公式 Bayes公式 条件概率 乘法公式 §1.6 独立性 一、两个事件的独立性 二、多个事件的独立性 解： 一、两个事件的独立性 定义：若事件 A?、B??满足上式，则称事件A??、B??相互独立，简称独立。 事件的独立性可根据实际经验判断。如：天气好坏与学习成绩，二人打枪各自的命中率。又：甲乙两人上课讲话（不独立），前后两次抽牌（无放回和有放回）。 定理一 ：设A, B是两事件，且P(A)0 。若A, B 相互独立，则 　。反之亦然。 定理二：若事件A, B相互独立，则下面几个事件对也相互独立。 两人射击，甲射中概率0.9，乙射中概率0.8，各射一次，求目标被击中的概率。 A：“甲中”， B ：“乙中”。 “目标被击中” ： 例1 解： 三个事件的独立性 定义： 设 A, B, C 是三个事件，如果满足： 则称事件 A, B, C 相互独立。 二、多个事件的独立性 事件的独立性是很普遍的现象，概率性质简单。 有放回的抽样是相互独立的，无放回的取样是不独立的。当总数很庞大时，可认为近似独立。 * * §1.5 条件概率 一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式 10 3 7 小计 4 1 3 塑料球 6 2 4 木球 小计 红球 白球 解： 列表 3). 所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 定义： 设 A、B 为两事件, P ( A ) 0, 则称 为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率。记为 若事件A已发生, 为了使 B也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 , 于是 有上式。 条件概率 也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质： 可列可加性 规范性 非负性 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 2)从加入条件后改变了的情况去算 （即在缩小的样本空间中算）。 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= 在缩小的样本空间 中A所含样本点个数 B发生后的缩小样本空间所含样本点总数 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 解法1: 解法2: 在B发生后的缩减样本空间中计算 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率。 解 令 A ：灯泡能用到1000小时； B ：灯泡能用到1500小时。 所求概率为 例2 某人外出旅