数学必修五(人教版A版) 基本不等式同步作业.docVIP

【选题明细表】 知识点、方法 题号 利用基本不等式求最值 1、2、6、8 利用基本不等式求解实际应用题 5、7、12 利用基本不等式求解恒成立问题 3、4 综合问题 9、10、11、13 基础达标 1.已知x,y为正实数,且x+4y=1,则xy的最大值为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:∵x,y均为正实数, 且x+4y=1, ∴xy=(x·4y)≤·（）2 =·（）2=, 当且仅当x=4y即x=,y=时取等号. 故xy的最大值是, 故选C. 2.(2014淄博高二期末)已知x1,y1且xy=16,则log2x·log2y(　D　) (A)有最大值2 (B)等于4 (C)有最小值3 (D)有最大值4 解析:∵x1,y1, ∴log2x0,log2y0. ∴log2x·log2y≤（）2=（）2=4, 当且仅当x=y=4时取等号. 故选D. 3.当x1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(　D　) (A)(-∞,2] (B)[2,+∞) (C)[3,+∞) (D)(-∞,3] 解析:由于x1, ∴x-10,0, 于是x+=x-1++1≥2+1=3, 当=x-1即x=2时等号成立, 即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3, 故选D. 4.(2014福建莆田十八中高二检测)若对所有正数x,y,不等式x+y≤a都成立,则a的最小值是(　A　) (A) (B)2 (C)2 (D)8 解析:∵x0,y0, ∴x+y=≤=·, 当且仅当x=y时等号成立, 所以使得x+y≤a都成立的a的最小值是.故选A. 5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图),若使营运的年平均利润最大,则每辆客车营运的年数为(　C　) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由题图求得函数为 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 ==12-（x+）≤12-2=2, 当且仅当x=时取等号, 解得x=5.故选C. 6.(2014三门峡高二期末)已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为　　　　.? 解析:+=3≥2?≥2?ab≥4. 当且仅当=,即a=6,b=时取等号. 答案:4 7.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　吨.? 解析:总运费与总存储费用之和 f(x)=4x+×4 =4x+≥2 =160, 当且仅当4x=, 即x=20吨时,f(x)最小. 答案:20 能力提升 8.(2014南阳高二期末)已知x≥,则f(x)=有(　D　) (A)最大值 (B)最小值 (C)最大值1 (D)最小值1 解析:f(x)= =+ =+ ≥2 =1. 当且仅当=, 即x=3时取“=”. 故选D. 9.(2014滁州高二期末)若关于x的不等式ax+b0的解集为(1,+∞),则a-+1的最小值为　　　　.? 解析:由题意可得a·1+b=0,a0, 所以a-+1=a++1≥3, 当且仅当a=1,b=-1时取等号. 答案:3 10.函数y=loga(x+3)-1(a0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n0,则+的最小值为　　　　.? 解析:函数y=loga(x+3)-1(a0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0, 2m+n=1,m,n0, +=（+）·(2m+n) =4++≥4+2 =8, 当且仅当即时等号成立. 答案:8 11.(2014锦州高二期末)(1)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证:+≥,并指出等号成立的条件; (2)利用(1)的结论求函数f(x)=+（x∈（0,））的最小值,并指出取最小值时x的值. (1)证明:（+）(x+y)=a2+b2+a2+b2 ≥a2+b2+2 =(a+b)2, 故+≥, 当且仅当a2=b2, 即=时上式取等号. (2)由(1)得f(x)=+≥=25, 当且仅当=, 即x=时上式取最小值,即f(x)min=25. 12.(2014德州联考)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=2米,AD=1米. (1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米,则DN的长应在什么范围内? (2)当DN的长度为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值. 解:(1)设DN的长为x(x0)米, 则|AN|=(x+1)米, ∵=, ∴|AM|=, ∴S矩形AMPN=|AN|·|AM|= 由S矩形AMPN9 得9