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1凹凸函数 1.1凸集 1定义一组称为凸如果任何两点线段加入完全属于X,换句话说 为每个这一点 对于每一个都在X中。 凸凸集的交集。 凸集的结合不一定是凸的。 让的凸壳被定义为最小的凸集包含X。 X的凸包包含所有点的凸组合 一些点的X 1.2凹和凸函数 函数f是凹的，如果线段上的连接任意两点 图中是从来没有的图形上方，更确切地说。 定义2函数f: R凸集上定义的S是凹的，如果任何两点，对任意的，我们有 f叫做严格凹，如果有 而凸与凹正好相反。 大致说来函数的凹性意味着上面的图和弦。 很明显,如果f是凹那么独一无二f凸,反之亦然。 定理1的函数f如果,只有R是凹(凸) 如果限制每一个线段的是凹(凸)函数的一个变量。 定理2如果f是一个凹(凸)函数然后当地达到极大(极小)是显而易见的。 1.2.1表征图 给定一个函数f: R凸集上定义。 f的hypograph定义为点集在函数的波形图上: 同样,f的题词是定义为点集在以上函数的图上: 定理3(a)函数f: R凸集上定义的S为 凹，当且仅当其hypograpf hyp f是凸的。 (b)函数f: R上定义一个凸集是凸 且仅当其题词epi f是凸的。 (a)的证明：让,让我们证明 1.2.2凹函数的例子 定理4假设f1…..fn都是凹(凸)函数和然后线性组合 是凹(凸)。 证明： 表单的一个函数 称为仿射函数(如果a0 = 0,这是一个线性函数)。 定理6一个仿射函数凹凸。 证明：定理遵循从先前的定理和文章中的证明声明: (1)函数f(x1,…;xn)= xi凹凸; (2)函数f(x1,…;xn)=-xi是凹凸; (3)常数函数f(x1…;xn)=a是一个凹凸。 定理7 凹凹函数的单调变换本身凹。 证明：让f: → R是一个凹函数和g:R→ R是凹 然后增加,当 这里以来第一次不平等持有f是凹和g越来越多,和第二个不平等拥有因为g是凹的的话。 注意,只是凹函数的单调变换不一定凹:考虑,例如f(x)= x和g(z)= 。 因此函数的凹性不是顺序,它是最重要的的财富。 经济的例子 假设生产函数f(x)是凹和成本函数c(x)凸的。 假设也p是积极的销售价格。然后利润函数 作为一个积极的系数线性组合凹凹函数。 因此当地最大的利润函数是明显的在这种情况下(见波纹管)。 1.3微积分凹度的标准 一个变量的函数,我们有以下语句 1. A 函数f：→R是凹当且仅当它的一阶导数 是递减函数。 2. A 函数f: →R是凹当且仅当它的二阶导数 。 在n-variable情况下通常不是我们认为雅可比(梯度) Df(x),而不是我们认为黑森。 目前尚不清楚如何推广上面的语句n-variable 1和2 自声明“Df(x)(向量)递减函数” 没有意义以及“ (矩阵)是积极的”。 让我们用公式语句1和2在以下形式: 1”A 函数f→R是凹当且仅当 对于所有x,y U。 提示:观察到凹f(x)和x y时，有 2” 一个 函数f→R是凹的,如果且仅如果一个变量 二次型半负定对于所有. 提示:观察到二次型是负的 半定当且仅当系数。 现在,我们可以制定的多变量概括1: 定理8 函数f：是凹的话。对所有的 ，也就是说 同样，凸函数也是类似的，只需要把小于号改成大于号。 1.4凹函数和优化 函数的凹性取代二阶导数测试单独的地方最大值、最小值或鞍,此外,凹函数的临界点是本地的最大值(最小值)是显然的: 定理10让f: 是凹(凸)函数上定义 一套凸函数。如果是一个临界点,Df()= 0,那么它就是 整体达到极大(极小)。 证明：自Df()= 0的不平等 =0 遵循f(y)≤f()对所有的y ∈ U。 接下来的结果是更强大,它也允许找到达到极大边界，你如果不认为开放。 定理11让f: 是凹函数定义在一个凸 如果一点,满足 ≤0 对于每一个y ∈U,然后是整体达到极大的f在U上。 同样,如果f凸的话情况恰好相反。 拉格朗日情况 考虑这个问题 我们知道如果是最大值，,那么存在满足拉格朗日条件 这是一个整体最大的充分条件: 定理12 假设f是凹,每个是凸的, 满足拉格朗日条件和每个。 那么整体达到极大。