太原理工大学微积分与数学模型(10版)2-8.pptVIP

函数与极限 2. 介值定理 第八节 连续函数的性质 一 连续函数的运算性质 二 闭区间上连续函数的性质 定理1 例如, 1. 四则运算的连续性 一、连续函数的运算性质 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数。 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续。 2. 反函数与复合函数的连续性 定理3 证： 将上两步合起来: 意义 1) 极限符号可以与函数符号互换； 例1 解： 例2 解： 同理可得 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况。 例如, 三角函数及反三角函数在它们的定义域 内是连续的。 1） 2） 3） 3. 初等函数的连续性 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的。 定义区间是指包含在定义域内的区间。 (均在其定义域内连续 ) 4） 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义。 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。 注意　 注意 2.初等函数求极限的方法可用代入法。 函数在0点的邻域内没有定义，在区间上 连续 例3 解： 例4 解： 解：由初等函数分段定义的函数，在分段区间的内部（开区间）函数是连续的，但对各段分界点处可能连续，可能间断。需要从计算左右极限入手进行讨论。由于 例5 研究函数 的连续性，并求出连续区间。 分界点为 所以 在 处间断。 在 处连续 , 从而函数 的连续区间为 和 。 二、闭区间上连续函数的性质 1. 最大值和最小值定理 例如, 定义 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连 续函数一定有最大值和最小值。 注意 1) 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2) 若区间内有间断点, 定理不一定成立。 定理2(有界性定理)在闭区间上的连续函数一定 在该区间上有界。 证： 即方程 在 内至少存在一个实根 定义 如果存在 使 f ( x ) = 0 则 称 为函数 f ( x ) 的零点。 0 几何解释 M B C A m a b 证： 由零点定理, 几何解释 例6 证： 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值。 证： 由零点定理, 例7 * *