大一高数第三章 导数与微分 课件.pptVIP

第七节 导数在边际分析与弹性分析中的应用 一、 边际分析 称 (平均变化率)为函数y=f(x)在区间 [x,x+ ?x]上的平均边际（也简称为边际）. 1.定义 如果函数y=f(x)在点x可导,则 称f?(x)= (瞬时变化率)为f(x)在点x处的边际． 边际f?(x)的经济含义: 因为 ?y=f(x+?x)-f(x)≈f?(x)· ?x， 当?x=1时， 有 f?(x)≈ ?y． 所以 近似表示当函数f(x)的自变量在x处增加一个单位时,函数值的相应增量.． 注意： 这里的增量 可正可负．若 为正， 则表明经济函数f(x)与其自变量变化的方向相同； 若 为负，则表明f(x)与其自变量变化的方向相反． 其增量的大小 （ ｜ ｜）则表明f(x)随自变量变 化的速度，故边际概念实际上表明了经济函数随自 变量变化的方向与速度． f?(x) f?(x) f?(x) f?(x) f?(x) 例1 已知某产品的总成本函数为 C(Q)=0.001Q 3-0.3Q 2+40Q+1000， 求它的边际成本函数及当Q=50,100,150时的边际成本． 解 边际成本函数 =0.003Q 2-0.6Q+40． =0.003×502-0.6×50+40=17.5； =10； 根据计算结果可知，生产第51个产品的生产成本约 为17.5．同样，生产第101个以及第151个产品的 生产成本分别约为10和17.5． 当Q=50时, 当Q=100时, 当Q=150时, =17.5． MC= 二、 弹性分析 “相对改变量” “相对变化率” 定义1 设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义,以?x, ?y分别表示自变量与函数的改变量,称函数变动的百分比与自变量变动的百分比之比值 为函数f(x)在点x处的弧弹性. 若函数f(x)在点x处可导,则称 为f(x)在点x处的点弹性,以记号Eyx表示,即 弹性分类 (1) 如 =1,表明y与x的变动幅度相同,此时称为单位弹性． (2) 如果 ＞1,表明y变动的幅度高于x变动的幅度,此时称为高弹性． (3) 如果 ＜1,表明y变动的幅度低于x变动的幅度,此时称为低弹性． 1. 需求价格弹性 定义2 设某商品的需求函数Q=f(P)可导,称 为该商品的需求价格弹性,简称需求弹性． 由于需求量是价格的减函数, 所以 0,从而EQP0. 例2 设某商品的需求函数为Q= ，求 (1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性． 解 (1) 因为Q′= - ，所以需求弹性函数为 eQP=- （- )= (2) 当P=3, P=5, P=6时需求弹性为 = =0.6； = =1； = =1.2． 当P =3时，eQP =0．6＜1为低弹性，价格上涨1%， 需求量下降0．6%；当P=6时，eQP =1．2＞1为 高弹性，价格上涨1%，需求下降1．2%；当P=5时， eQP =1为单位弹性，价格上涨1%，需求量也下降1%． 例3． 设某种商品的需求弹性为0．8，则当价格 分别提高10%，20%时，需求量将如何变化? 解：设需求量为 ，价格为 ，由已知得 ,即 而 当价格提高 时，即 时， 或 当价格提高 ，即 时， ， 时，需求量分别提高 和 . 或 和 即当价格分别提高 2. 需求的收入弹性 定义3 设在其他条件不变的情况下,某商品的需求量Q关于消费者收入m的函数为Q=f(m),f(m)可导,称 为该商品的需求收益弹性． 一般 ＞0,所以需求的收入弹性 ＞0. 如果 ＜0,则表明该商品是低档商品． 三、 增长率 设某经济变量y是时间t的函数:y=f(t).单位时间内f(t)的增长量占基数f(t)的百分比 称为f(t)在t的平均增长率． 若f(t)导,则有 称为f(t)在时刻t的瞬时增长率,简称增长率,记为rf． 增长率有两条重要的运算法则： (1) 积的增长率等于各因子增长率的和. 即 若 y(t)=u(t)·v(t)，则有 (2) 商的增长率等于分子与分母的增长率之差． 即 若 y(t)= ，则有 * 由复合函数及反函数的求导法则得 例1 解 求下列函数的导