函数项级数 习题课.pptVIP

2、求幂级数收敛域的方法 3、幂级数和函数的求法 4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 例2. 例3. 求幂级数 法2 例7. 设 * * 课件制作：刘开宇 彭亚新 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅立叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时为幂级数; 一、内容总结 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 ? 直接展开法 ? 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 （1）. 函数的幂级数展开法 （2）. 函数的傅里叶级数展开法 系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛区间为 例1. 求下列级数的敛散区间: 三、典型例题讲解 因 故收敛区间为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: 法1 易求出级数的收敛域为 先求出收敛区间 则 设和函数为 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 例4. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, (2) 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 解: 原式= 的和 . 例5. 求级数 例6. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 的和. ( 01考研 ) 解: 于是 并求级数 上的表达式为 将其展为傅氏级数 . 例8. 设 f (x)是周期为2?的函数, 它在 解答提示 思考: 如何利用本题结果求级数 根据傅氏级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有 提示: