d函数性态的研究.pptVIP

第六节 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 注意: 定理 6.2 (极值第一充分条件) 例4. 求函数 例5. 求函数 定理6.4(判别法的推广) 例如 , 例2中 6.3 函数的最大值与最小值 特别: 例6. 求函数 例6. 求函数 例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 例9. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 F 作 解: 例10. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 说明：在经济学中 例11. 判断曲线 例12. 求曲线 例13. 求曲线 6.5. 函数图形的描绘 1. 水平与铅直渐近线 2. 斜渐近线 例16. 求曲线 函数图形的描绘 例17. 描绘 例18. 描绘方程 6）绘图 例19. 描绘函数 内容小结 2. 设 3. 设 5. 曲线 称为边际成本 称为边际收入 称为边际利润 由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上 即边际收入＝边际成本 （见右图） 成本函数 收入函数 即 收益最大 亏损最大 6.4 函数的凸性 定义6.1 （凸函数） 设f ：I→R，若 则称 f 为 I 上的凸 函数. 若 则称 f 为 I 上的严格凸 函数. （凹） （凹） 定理6.5 设函数 f 在区间 I 上一阶可导，若 在 I 上严格单调增 则 f 在 I 是 (凸） 严格凸 的. （单调增）, 证： 仅证 f 在 I 上是严格凸的结论，关于 f 是凸 的证明完全类似. 在 I 上严格单调增， 设 则 令 则 在 与 上分别用Lagrange定理， 存在 与 使 从而有 由于 故 因此，f 是 I 上的严格凸函数. 推论6.1 设函数 f 在区间 I 上二阶可导，若 则 f 在 I 上是 严格凸 的. (凸） 定义 连续曲线 y = f ( x )上凹弧与凸弧的分界点称为 该曲线的拐点. 拐点 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是严格凸的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凸 凹 对应 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 3) 列表判别 故该曲线在 及 上是凸的, 是凹的 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凸 凸 利用函数的凸性也可以证明一些不等式. 例14. 设 与 为任意两个实数，且 证明不等式 证：若 f 为 区间I 上的严格凸函数，则不等式 成立.取 该式变为 因此，只要证明 是 上的严格凸函数， 由上式立即得所证不等式. 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有铅直渐近线 例15. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为铅直渐近线. 斜渐近线 若 ( 习题1.4（B）第1题) 的渐近线. 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点) (极小) 4) 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得 ① ①两边对 x 求导得 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 又因 即 5) 求特殊点 为斜渐近线 (极大) (极小) 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 无定义 的图形. 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 求关键点 3) 判别曲线形态 (极大) (拐点) 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 (极大) (拐点) 1. 可导函数单调性判别 在 I 上严格单调递增 在 I 上严格单调递减 2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 3. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2