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三重积分的定义 三、小结 * * * 第四节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算（一） 三重积分 第九章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “分割, 取近似, 求和, 取极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 采用 2. 三重积分有与二重积分类似的性质。 3.由三重积分的定义 注意：1.如果 在 上连续，则 存在。 以后总假定 在 上连续。 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分．（先单后重） 如图， 二、三重积分的计算 得 注意 相交不多于两点情形． 的边界曲面 闭区域 内部的直线与 轴且穿过闭区域 这是平行于 S z W W z =0 y = 0 x =0 ?：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域 先画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 z = 0 例1.计算三重积分 x + 2y + z =1 I = 0 y x 1 Dxy I = y2=x x y z o . 例2. y2=x x y z o . 例2. z = 0 y=0 x y z o ? 。 。 y2=x . 例2. 0 y x D 当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ? I = 试计算： 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例3. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例3. 1 1 z =0 o z x x+ y=1 y ? 。 。 z=xy 例3. Dxy: z =0 0 y x 1 1 。 。 Dxy 解 如图， 2. 先重后单 例6. 计算三重积分 解: 用“先重后单 ” 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） 三重积分的计算方法 方法1. “先单后重” 方法2. “先重后单” 具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择.