1．线性单摆的受迫振动.ppt

驱动单摆方程 驱动力写成指数 这是非齐次线性微分方程,其通解是 它的齐次线性方程的通解和它一个特 解之和。 1. 齐次方程的通解: 类似线性阻尼单摆，得： 2. 非齐次方程的特解: 设 求导： 消去公因子 1．线性单摆的受迫振动 代入r、j 以后特解为： 非齐次线性微分方程的通解 第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分： 衰减过程常称为过渡过程。 庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。 庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。 在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。 人们将时间上的连续运动转变为 离散的图象处理方法称为庞加莱 映射。 * 第一章 非线性振动初步 第四节 受迫振荡 1．线性单摆的受迫振动 2. 杜芬方程的受迫振动 3. 庞加莱截面 4. 初识单摆的复杂运动 小摆角驱动单摆的通解 代入 1．线性单摆的受迫振动 小摆角驱动单摆的通解 谐振特性 1．线性单摆的受迫振动 研究幅频特性： 将分母根号下对频率求导并令其等于零： 共振频率nr小于系统自振频率w， 共振时的最大振幅为： 共振时最大振幅与阻尼有关 共振频率 1. 受驱杜芬方程 （F cosnt 驱动力） 由单摆方程 2. 方程解 设一次近似解 （A,j 为待定常数） A,j由下述方程组求出： 其中 2. 杜芬方程的受迫振动 杜芬方程解 改写 2. 方程解(续) 讨论稳态 2. 杜芬方程的受迫振动 杜芬方程解 积分 2. 方程解(续) 考虑近共振： 2. 杜芬方程的受迫振动 杜芬方程解 等效自振频率 2. 杜芬方程的受迫振动 谐振特性 单摆 杜芬方程 等效自振频率随振幅增加而减小 自振频率是常数 由于自振频率随振幅增加而减小，共振峰发生“倾倒”现象，形成了向左的S形曲线。 驱动频率n由小到大增加，共振点由1移至2。到达2后，振幅向上跳变到3。n值时到达点4后，振幅又发生一次跳变，由4一下跳到最低值。 一些异常谐振特性现象： (1) 自动限幅现象 共振振幅 A 为一有限值： (2) 多值共振解现象 在 区域，一个n 值对应着 三个A值，即共振解有三个 q，r，s。 (3) 跳跃反相现象 当 时，j = 0，共振解在共振线上；当 时，j 0；当 时，j 0。 2. 杜芬方程的受迫振动 谐振特性 杜芬方程有异常频率特性，在 间有3个解。它们的稳定性如何？ 稳定性判据为： 在 区域，解稳定性条件为： ，否则解是不稳定的； 在 区域，解稳定性条件为： ，否则解是不稳定的； 以这两个判据来衡量，图中的 q，r，s 三个解中解 q，s 是稳定的，解 r 是不稳定的。 无阻尼杜芬振子的轨线 阻尼杜芬振子的轨线 相图 2. 杜芬方程的受迫振动 3.庞加莱映射 单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。  3.庞加莱映射 庞加莱截面与轨线运动 3.庞加莱映射 庞