多元函数积分学Ⅰ.docVIP

第十章多元函数积分学 一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数，建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼积分. 第一节二重积分 一、二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.曲顶柱体的体积 设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的非负（即f（x，y）≥0）连续函数，它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S，怎样求以曲面S为顶，以闭区域D为底，其侧面是一柱面（它的准线是闭区域D的边界L，母线平行于z轴）的曲顶柱体的体积呢（图101）？ 图101 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决它（图102）. 图102 （1）分割闭区域D为n个小闭区域 Δσ1，Δσ2，…，Δσn，同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体. （2）在每个小闭区域上任取一点 （ξ1，η1），（ξ2，η2），…，（ξn，ηn）， 对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f（ξi，ηi）而底为Δσi的平顶柱体的体积来近似代替. （3）这n个平顶柱体的体积之和 Vn=就是曲顶柱体体积的近似值. （4）用λ=maxd（Δσi）表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值）.当λ→0（可理解为Δσi收缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： V=. 2.平面薄片的质量 设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点（x，y）处的面密度是ρ=ρ（x，y）.设ρ（x，y）是连续的，求薄片的质量（图10?3）. 图103 先分割闭区域D为n个小闭区域 Δσ1，Δσ2，…，Δσn，在每个小闭区域上任取一点（ξ1，η1），（ξ2，η2），…，（ξn，ηn）近似地，以点（ξi，ηi）处的面密度ρ（ξi，ηi）代替小闭区域Δσi上各点处的面密度，得到第i块小薄片的质量的近似值ρ（ξi，ηi）Δσi，于是整个薄片质量的近似值是 Mn=用λ=maxd（Δσi）表示n个小闭区域Δσi的直径的最大值，当D无限细分，即当λ→0时，Mn的极限就是薄片的质量M，即M=. 以上两个具体问题，虽然背景不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义. 定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f（x，y）在D上有界.将D分为n个小区域 Δσ1，Δσ2，…，Δσn，同时用Δσi表示该小区域的面积，记Δσi的直径为d（Δσi），并令λ=d（Δσi）. 在Δσi上任取一点（ξi，ηi），（i=1，2，…，n），作乘积f（ξi,ηi）Δσi，把这些乘积加起来，得和式 Sn= 若λ→0时，Sn的极限存在它不依赖于D的分法及点的取法，则称这个极限值为函数z=f（x，y）在D上的二重积分，记作，即 =，（101-1）其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，dσ叫做面积元素，f（x，y）dσ叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，叫做积分和. 在直角坐标系中，我们常用平行于x轴和y轴的直线（y=常数和x=常数）把区域D分割成小矩形，它的边长是Δx和Δy，从而Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d=dx·dy，二重积分也可记作 =. 有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f（x，y）在区域D上的二重积分 V=；薄片的质量M是面密度ρ=ρ（x，y）在区域D上的二重积分 M= 因为总可以把被积函数z=f（x，y）看作空间的一张曲面，所以当f（x，y）为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x，y）为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果f（x，y）在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，f（x，y）在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和. 如果f（x，y）在区域D上的二重积分存在（即和式的极限（101-1）存在），则称f（x，y）在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明. 如果f（x，y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（x，y）在D上可积. 我们总假定z=f（x,y）在闭区域D上连续，所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明. 二、二重积分的性质 设二元函数f（x，y），g（x，y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质，我们只证其中的几个，其余的请读者自己去证明. 性质1常数因子可提到积分号外面：  =k ，其中k是常数. 性质2函数的代