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第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系： 相切d＝r△＝0 相交 相离 2．圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件： 外离d R＋r 外切 相交 内切 内含 3. 圆的切线方程 ① 圆x2＋y2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l: . ② 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l : . ③ 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0, y0)处的切线方程为 . 例1. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线． ⑴ 求过点P的圆的切线方程． ⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程． 解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4) 即kx－y+2－4k＝0 ① 则d＝ ∴＝ 解得k＝1或k＝ ∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0 (2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２ 因为点(4，2)在l1和l2上． 则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2 这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求 变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( ) A.k∈R Ｂ.k＜ Ｃ. D. （2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是 （ ） A．（0，－1） B．（0，1] C．（0，2－] D．（0，] （3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值为( ) A. Ｂ. Ｃ. Ｄ. （4）过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为 ． （5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是 . 解：（1）D．提示：P在圆外． （2）C．提示：两圆内切或内含． （3）D．提示：从纯代数角度看，设t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范围。从数形结合角度看，是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界． （4）．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率． （5）.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得． 例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程． 解：圆C的方程可化为(x＋1) 2＋(y－3)2＝5 ∴圆心C(－1，3)，直线BC的方程为： x＋2y－5＝0 ① 又线段AB的中点D(，)，kAB＝－1 ∴线段AB的垂直平分线方程为： y－＝x－即x－y－2＝0 ② 联立①②解得x＝3，y＝1 ∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝ ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5 变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程． 解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ∵圆与坐标轴相切， ∴a=±b,r=｜a｜ 又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上. ∴5a-3b=8, 由 得 ∴所求圆的方程为： （x-4)2+(y-4)2=16 或(x-1)2+(y+1)2＝1． 例3. 已知直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB的面积为S． ⑴ 试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域． ⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k值． 解：(1)圆心O到AB的距离d＝ 由d2－1 k 1 |AB|＝4 S(k)＝4 (2) 解法一：据(1)令1＋k2＝t k2＝t－1(1 t 2) S＝4＝4 ≤4·＝2 当＝即k＝时，等号成立．∴k＝±为所求． 解法二： △ABD的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB ∴当∠AOB＝90°时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C． 则O