构造函数法在高考解导数和数列问题.docVIP

用构造函数法给出两个结论的证明． （1）构造函数，则， 所以函数在上单调递增，．所以，即． （2）构造函数，则．所以函数在上单调递增，，所以，即． 要证两边取对数，即证 事实上：设则 因此得不等式 构造函数下面证明在上恒大于0． ∴在上单调递增， 即 ∴ ∴ 以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22． 1．【09天津·文】10．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是 A．　　　 B． C． 　 D． 【答案】A 【解析】由已知，首先令得，排除B，D． 令，则， ①　当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而． ②　当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而．综上．故选A． 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力． 2．【09辽宁·理】21．（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）证明：若，则对任意，，有． 解：（Ⅰ）的定义域为． …………………2分 （i）若即，则， 故在单调增加． （ii）若，而，故，则当时，； 当及时，．故在单调减少， 在单调增加． （iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加． （II）考虑函数． 则 ． 由于故，即在单调增加，从而当时有 ，即，故，当时，有． ………………………………12分 3．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分） 设函数有两个极值点，且． （I）求的取值范围，并讨论的单调性； （II）证明：． 【解】（I）由题设知，函数的定义域是 且有两个不同的根，故的判别式 ， 即 且 …………………………………① 又故． 因此的取值范围是． 当变化时，与的变化情况如下表： 因此在区间和是增函数，在区间是减函数． （II）由题设和①知 于是　　　　． 设函数 　 则 　 当时，； 当时，故在区间是增函数． 于是，当时， 因此 ． www．ks5u．com 5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分） 已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数． （1）求、的表达式； （2）求证：当时,方程有唯一解； （3）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围． 解：（1）依题意,即,． ∵上式恒成立,∴ ① …………………………1分 又,依题意,即,． ∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分 由①②得． …………………………3分 ∴ …………………………4分 （2）由（1）可知,方程, 设, 令,并由得解知………5分 令由 …………………………6分 列表分析： （0,1） 1 （1,+(） - 0 + 递减 0 递增 可知在处有一个最小值0, …………………………7分 当时,＞0, ∴在（0,+(）上只有一个解． 即当x＞0时,方程有唯一解． …………………………8分 （3）设, …………9分 在为减函数 又………11分 所以：为所求范围． …………………………12分 7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12） 已知函数 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ，求证：． 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）当时， 以下先证， 所以只需证，即 设，则． 所以在时，为减函数， ． 即．又， ∴成立，即． 同理可证． ∴． 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分） 已知函数在上为增函数，且， ，． （1）求的取值范围； （2）若在上为单调函数，求的取值范围； （3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围． 解： （1）由题意，在上恒成立，即 ．故在上恒成立， ……………2分 只须，即，只有．结合得．…4分 （2）由（1），得 在上为单调函数， 或者在恒成立． ……………．． 6分 等价于即 而． …………………………………8分 等价于即在恒成立， 而． 综上，的取值范围是． ………………………………………10分 （3）构造函数 当时，，，所以在上不存在一个， 使得成立． 当时， …………12分 因为所以，，所以在恒成立． 故在上单调递增，，只要， 解得 故的取值范围是 ……………………………………………14分