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三. 三维晶格的振动： 虽然一维晶格振动问题简单可解，但三维晶格的振动却是一个十分复杂的问题，幸好一维晶格振动解已经反映出三维晶格振动的基本特点，因此我们可以把一维求解的方法和结论推广到三维情况。 （见黄昆书p97-103） 考虑原胞内含有n个原子的复式晶格，n个原子的质量分别为： 原胞的位置表示为： 原胞中各原子的平衡位置记做： 偏离平衡位置的位移： 一个原胞中原子的运动方程： 代表原胞中的某个原子。 代表原子的三个位移分量。 作用力的表示十分复杂，因为要涉及到上下左右的近邻。这里我们只作定性讨论，就不具体写出了。 它也是一组线性齐次方程 ，其解应和一维相同： 指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式， 该表达式中 是波矢，代表了传播方向。振幅也是矢量。 表示各原子位移分量的振幅有区别 代入方程后同样可以证明有解条件是 的一个3n次方程式，从而给出了3n个解： 即3n支色散曲线。分析表明，其中有3支，在 且原胞内n个原子的振幅趋于相同，就是说在长波极限下整个原胞一起移动，所以这三个解类似弹性波，称声学支。另外3n－3支的解在长波极限下描述原胞内原子的相对振动，是光学支振动。这和一维计算讨论结果是符合的。 三维结果同样要使用周期性边界条件，q 同样在第一布里渊区内取N个（原胞数）值。因此在波矢空间，每个q占据的 体积是：N分之一的倒格子体积 ： 即每个q 占据的体积为：其倒数是分布密度。 结论： N个原胞每个原胞有n个原子的三维晶体， 晶体中格波的支数 ＝ 原胞内的自由度数：3n 其中 3 支为声学支（1支纵波、2支横波） 3n－3支为光学支（也有纵波、横波之分） 晶格振动的波矢数 ＝ 晶体的原胞数 N 晶格振动的模式数 ＝ 晶体的自由度数 3nN 思考 Cu，金刚石，NaI 晶体应该分别有几支色散关系？ 以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定。 Pb 的振动谱 Cu 的振动谱 fcc 见 Blakemore：Solid State Physics P96 fcc 金属Pb 的格波谱 见黄昆书p103 见 Blakemore：Solid State Physics P112 金刚石的振动谱 锗的格波谱 见Kittel p72 硅的格波谱 见黄昆书 p102 GaAs 的格波谱 见黄昆书p103 见 Blakemore：Solid State Physics P111 NaI 的色散曲线 于是： 四. 态密度函数 (Density of States)：参见Kittel 书p83 既然边界条件要求q 在波矢空间取值是分立的，就提出一个模式密度问题。 一维情况下的态密度： 一维情形，我们曾指出：波矢空间单位长度上的模式 数： ，所以 间隔内的模式数为： 定义：态密度 就是单位频率间隔内的状态数。 注意到： 有： * 2.1 晶格振动的经典理论 2.2 晶格振动的量子化－声子 2.3 固体热容的量子理论 2.4 晶格振动的实验研究 2.5 离子晶体的红外光学性质 2.6 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导 第二章 晶格振动 参考： 黄昆书第三章，Kittel 书第四和第五两章 固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。 晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einst